الرياضيات بالعربية

بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 6

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres بين أن العدد التالي قابل للقسمة على 6
ليكن $p$ عدد أولي أكبر من $5$ .

بحيث $p+2$ عدد أولي .

بين أن $p+1$ قابل للقسمة على $6$.
لدينا $p$ عدد أولي أكبر من $5$ إذن $p$ عدد فردي .

وبالتالي $p+1$ عدد زوجي .

إذن $2$ تقسم $p+1$.

بقي أن نبين أن $3$ تقسم $p+1$.

من المعلوم أن جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية تكتب على إحدى هذه الأشكال :
  • $n \, = 3k$
  • $n \, = 3k+1$
  • $n \, = 3k+2$

  • 1)لدينا $p$ عدد أولي إذن لا يمكن أن يكتب على شكل $3 k$.

    2)إذا كان $p \, = 3k+1$ لدينا $p+2 \, = 3 (k+1) $.

    إذن $3$ تقسم $p+2$ تناقض !! لان $p+2$ أولي .

    إذن $p$ لا يكتب على شكل $3k+1$ .

    إذن الحالة الوحيد الممكنة هي :

    $p \, = 3k + 2$ .

    وبالتالي : $p+1 \, = 3 (k+1) $

    إذن $3$ تقسم $p+1$.

    بينا أن $2$ تقسم $p+1$ و $3$ تقسم $p+1$ ولدينا $ 2 \wedge 3 \, = 1$ إذن :

    $6$ تقسم $p+1$.