الرياضيات بالعربية

طريقة عملية لمعرفة أولية عدد

الهدف من التمرين هو إعطاء طريقة عملية لمعرفة أولية عدد .

ليكن $ n \in \mathbb{N} $ بحيث $ n $ غير أولي .

بين أنه يوجد عدد $a$ يقسم $n$ بحيث : $1 < a \leq \sqrt{n}$.

باستعمال هذه الطريقة بين كيف أن 2011 عدد أولي و 1073 غير أولي .
ليكن $n \in \mathbb{N}$ و $n$ غير أولي .

إذن $ n = a \times b$ بحيث $a$ و $ b$ قواسم فعلية (أي تخالف 1 و $n$) .

بحيث يكون : $ a \leq b$.

( لاحظ أن عددين من $ \mathbb{R}$ يمكننا دائما ترتيبهما . وبشكل خاص في $ \mathbb{N} $ ).

إذن : $ a^2 \leq a \times b = n $

إذن :$ a \leq \sqrt{n}$


طريقة تحديد أولية عدد $n$:

في الأول نحسب الجذر المربع للعدد $n$ .

ثم نقوم بتجربة قسمة الأعداد الأولية الأصغر من هذا الجذر .

(لاحظ أنه يمكننا الإكتفاء فقط بالأعداد الأولية الاصغر من الجذر مربع لأن الأعداد الأخرى سوف تكون ضرب هذه الأعداد) .

إذا وجد عدد أولي يقسم $n$ فإن $n$ ليس أولي .

إذا لم يوجد فإن $n$ عدد أولي .


مثال : $n \, = 2011$.

لدينا : $ \sqrt{2011} = 44.8441...$

الأعداد الأولية الأصغر من $44$ هي على التوالي :

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43$

وجميعها لا تقسم $2011$ إذن $2011$ عدد أولي !!.


مثال 2 : $n \, = 1073 $

لدينا : $\sqrt{1073} \, = 32.7566... $

الأعداد الأولية الأصغر من $ 32 $ :

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$

لدينا $29$ يقسم $1073$ إذن $1073$ ليس أولي .