الرياضيات بالعربية

بين أن أصغر قاسم فعلي لعدد هو عدد أولي

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres بين أن أصغر قاسم فعلي لعدد هو عدد أولي
الهدف من هذا التمرين هوا البرهنة على أن أصغر قاسم فعلي لعدد $ n $ هو عدد أولي .

ليكن $ n\in \mathbb{N} $, ليكن $a$ أصغر قاسم فعلي ل $n$ و $\mathbb{P}$ مجموعة الأعداد الأولية .

بين أن $a \in \mathbb{P}$.
تذكـــــير : نقول أن $a$ قاسم فعلي لعدد $n$ إذا وفقط إذا كان :

$a$ يقسم $n$ و $a \neq 1$ و $a \neq n$ .


البرهان بالخلف :

ليكن $a$ أصغر قاسم فعلي لــ$n$ , نفترض أن $a \notin \mathbb{P} $ :

بما أن $a \notin \mathbb{P} $ فإنه يوجد $b$ قاسم فعلي لــ$a$.

لدينا $b$ يقسم $a$ و $a$ يقسم $n$ إذن $b$ يقسم $n$ .

ولدينا $b$ أصغر من $a$.تناقض !!

لأننا افترضنا أن $a$ هو أصغر قاسم فعلي لــ$n$ .

إذن الإفتراض خاطئ و أصغر قاسم فعلي لعدد ما هو عدد أولي .