الرياضيات بالعربية

تمرين حول الأعداد الأولية

نرمز ب $ \mathbb{P}$ لمجموعة الأعداد الأولية .

بين التالي :

$(2^n - 1 ) \in \mathbb{P} \implies n \in \mathbb{P}$

بين أن العكس غير صحيح .
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :

نفترض أن :

$(2^n - 1 ) \in \mathbb{P}$ و $n \notin \mathbb{P}$

إذن :

$\exists (a, b) \in \{2, .... , n-1\} ^2 \, : \, n = a \times b$

ولدينا :

$\begin{array}{rcl}2^n - 1 & = & 2^{ab} - 1 \\ \\~ & = & (2^{a})^b- 1 \\ \\~ & = & (2^{a} - 1) \times ((2^{a})^{b-1} + ..... + (2^{a}) + 1)\end{array}$

لدينـــا :

$2^{a} - 1 \neq 1$ و $2^{a} - 1 \neq 2^n - 1$ لأن :

$a \in \{2, .... , n-1\}$

و لدينا :

$(2^{a} - 1) | (2^n - 1)$

إذن $ 2^n - 1 $ غير أولي .تناقض !! .

إذن الإفتراض خاطئ,

و بالتالي فإن :

$(2^n - 1 ) \in \mathbb{P} \implies n \in \mathbb{P}$


لنبين أن الاستلزام التالي خاطئ :

$n \in \mathbb{P} \implies (2^n - 1 ) \in \mathbb{P}$

لدينا $ 11 \in \mathbb{P} $ لكن :

$2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$

إذن عكس الخاصية الأولى خاطئ.