الرياضيات بالعربية

بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية

site lagrida الرياضيات بالعربية نظرية الأعداد Théorie des nombres بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية
بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية .
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :

نفترض أن مجموعة الأعداد الأولية منتهية و ليكن $m$ أكبر عدد أولي .

نعتبر العدد التالي :

$n = m! + 1$

لدينا :

$\forall k \in \{1, ....m\} \, : \, k | m!$

إذن :

$k \, : \, \forall k \in \{2, ....m\} \, \, \,(1) $ لا يقسم $ n = m! + 1 $

إذا كان $ k \in \{ m+1, ...... n-1 \} $ .

بما أن $ k > m $ فإن $k $ ليس أولي .

إذن $ \exists k_1 \in \{ 2,....., m\} \, : \, k_1 | k $.

إذن :

$k $ لا يقسم $ n = m! + 1 $

لأنه إذا كان $ k | n $ فإن $k_1 | n$ غير ممكن !!.

لأن $ k_1 \in \{ 2,....., m\} $

إذن :

$k \, : \, \forall k \in \{m+1, ....n-1\} \, \, \,(2)$ لا يقسم $ n = m! + 1 $

من $(1)$ و $(2)$ لدينا :

$k \, : \, \forall k \in \{2, ....n-1\}$ لا يقسم $ n = m! + 1 $

إذن $n$ عدد أولي .

تناقض !!

لأن $ n > m $ و لدينا $ m $ هو أكبر عدد أولي .

إذن الافتراض خاطئ, ومجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.’