الرياضيات بالعربية

أحسب نهاية المتسلسلة التالية

نعتبر المتسلسلة التالية $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad S_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$

1 - باستغلالك لتباعد المتسلسلة $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $ بين أن $ \sqrt{n} \, S_n$ متباعدة .

2- بين أن : $\forall k \in \mathbb{N}^{*} \quad \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2 \, (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$

3 - استنتج أن $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad 2 \, \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq 2 - \frac{1}{\sqrt{n}}$

4 - استنتج أن $S_n$ متقاربة وحدد نهايتها .
لدينا المتسلسلة $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $ متباعدة - راجع حدد تقارب المتتالية التالية

ولدينا :

$\forall k \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \frac{1}{k} \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$

$\lim_{n\rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = + \infty$

إذن :

$\lim_{n\rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \sqrt{n} \, S_n = + \infty$

إذن $ \sqrt{n} \, S_n$ متباعدة .


ليكن $ k \in \mathbb{N}^{*} $ .

لديـــنا :

$\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \, (\sqrt{k+1} + \sqrt{k})}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \, (*)$

من جهة أخرى : $ \sqrt{k} \leq \sqrt{k+1} $ إذن :

$2 \, \sqrt{k} \leq \sqrt{k+1} + \sqrt{k} \leq 2 \, \sqrt{k+1}$

$\frac{1}{2 \, \sqrt{k+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \leq \frac{1}{2 \, \sqrt{k}} \, (**)$

من $(*)$ و $(**)$ لدينا :

$ \forall k \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2 \, (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$


لدينا :

$\forall k \in \mathbb{N}^{*} \, : \, 2 \, (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, 2 \, \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k+1} - \sqrt{k} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, 2 \, (\sqrt{n+1} - 1) \leq \sqrt{n} \, S_n$

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, 2 \, \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}} \leq S_n \,\, (1)$

لدينا

$ \forall k \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2 \, (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2 \, \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 \, \sqrt{n+1} - 2$

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 \, \sqrt{n+1} - 1$

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \sqrt{n} \, S_n \leq 2 \, \sqrt{n} - 1$

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, S_n \leq 2 - \frac{1}{\sqrt{n}} \,\, (2)$

من $(1)$ و $(2)$ لدينا :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, 2 \, \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq 2 - \frac{1}{\sqrt{n}}$


لدينا $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}} $ تزايدية ( $S_{n+1} - S_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 0$ ) .

ولدينا أيضا : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, S_n \leq 2 - \frac{1}{\sqrt{n}} < 2$ .

$(S_n)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ تزايدية ومكبورة بـ$2$ إذن متقاربة, وبمــا أن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, 2 \, \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq 2 - \frac{1}{\sqrt{n}}$

وأيضا :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} 2 \, \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow + \infty} 2 - \frac{1}{\sqrt{n}} = 2$

فإن :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} S_n = 2$