نعتبر المتسلسلة التالية
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad S_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}}}$1) باستغلالك لتباعد المتسلسلة $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} }}$ بين أن $\displaystyle{\displaylines{ \sqrt{n} \, S_n}}$ متباعدة.
2) بين أن $\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N}^{*} \ : \ \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2 \, (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) \leq \frac{1}{\sqrt{k}}}}$
3) استنتج أن $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ 2 \, \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \frac{2}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq 2 - \frac{1}{\sqrt{n}}}}$
4) استنتج أن $\displaystyle{\displaylines{S_n}}$ متقاربة وحدد نهايتها