الرياضيات بالعربية

متسلسلة تؤول إلى ln2

الهدف من هذا التمرين هو البرهنة على أن السلسلتان التاليتان تؤولان إلى $\ln(2)$ .

نعتبر السلسلتان التاليتان :

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ و $W_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n}$

1) بملاحظتك لــ$\int_{0}^{1} t^{k-1} dt = \frac{1}{k}$ بين أن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| = \left|\int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt\right|$

2) بين أن : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| \leq \frac{1}{n+1} $, ثم استنتج أن :

$\lim_{n\rightarrow + \infty} S_n = \ln(2)$

3) بين أن : $W_n = S_{2 n} $ ثم استنتج نهاية $W_n$.
لدينا : $\int_{0}^{1} t^{k-1} dt = \frac{1}{k}$

ومنه فإن :

$\int_{0}^{1} (-t)^{k-1} dt = \frac{(-1)^{k-1}}{k}$

إذن :

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^{n} \left(\int_{0}^{1} (-t)^{k-1} dt\right)$

وبالتالي :

$S_n = \int_{0}^{1} \left(\sum_{k=1}^{n} (-t)^{k-1}\right) dt$

$\sum_{k=1}^{n} (-t)^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^{k} = \frac{(-t)^{n} - 1}{-t-1}$

$S_n = \int_{0}^{1} \frac{(-t)^{n} - 1}{-t-1} dt$

$S_n = \int_{0}^{1} - \frac{(-t)^n}{t+1} dt + \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1} dt$

لاحظ أن : $ \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1} = \ln(2) $

ومنه فإن : $S_n - \ln(2) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| = \left|\int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt\right|$


كما بينا في السؤال السابق لدينا :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| = \left|\int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt\right|$

لاحظ أن $ t \in [0, 1] $, إذن : $ \frac{t^n}{t+1} \leq t^n$

لدينا :

$\begin{array}{rcl}\left|\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{t^n}{t+1} dt\right| & \leq & \displaystyle\int_{0}^{1} \left| \dfrac{t^n}{t+1} \right| dt \\ \\~ & \leq & \displaystyle\int_{0}^{1} t^n dt = \dfrac{1}{n+1}\end{array}$

ومنه فإن :

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| \leq \frac{1}{n+1} $


لدينا :

$ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| \leq \frac{1}{n+1} $

و $\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1}{n+1} = 0$.

وبالتالي :

$\lim_{n\rightarrow + \infty} S_n = \ln(2)$


لدينا :

$S_{2n} = \sum_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$

نقوم بفصل الأعداد الزوجية والأعداد الفردية في المجموع :

$S_{2n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{(2 k)-1}}{2 k} + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{(2 k + 1) - 1}}{2 k + 1}$

$S_{2n} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 k + 1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k} \,\, (*)$

بالنسبة للسلسلة $W_n$

$W_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n}$

نقوم بتغيير للمتغير بحيث : $p = k+n $

$W_n = \sum_{p=n+1}^{2 n} \frac{1}{p}$

إذن :

$W_n = \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

نقوم بفصل الأعداد الزوجية والفردية في المجموع الأول :

$W_n = ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2k+1}) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

وبالتالي فإن :

$W_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 k + 1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k} \,\, (**)$

من $(*)$ و $(**)$ لدنينا :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, W_n = S_{2 n} $

بما أن $ \lim_{n\rightarrow + \infty} S_n = \ln(2) $ فإن $ \lim_{n\rightarrow + \infty} S_{2n} = \ln(2)$

(لاحظ أن عكس هذه الخاصية ليس صحيحا دائما .)

إذن : $ \lim_{n\rightarrow + \infty} W_n = \ln(2)$