متسلسلة تؤول إلى ln2

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\int_{0}^{1} t^{k-1} dt = \frac{1}{k}}}$

ومنه فإن :

$\displaystyle{\displaylines{\int_{0}^{1} (-t)^{k-1} dt = \frac{(-1)^{k-1}}{k}}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^{n} \left(\int_{0}^{1} (-t)^{k-1} dt\right)}}$

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{S_n = \int_{0}^{1} \left(\sum_{k=1}^{n} (-t)^{k-1}\right) dt}}$

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} (-t)^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (-t)^{k} = \frac{(-t)^{n} - 1}{-t-1}}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{S_n = \int_{0}^{1} \frac{(-t)^{n} - 1}{-t-1} dt}}$

$\displaystyle{\displaylines{S_n = \int_{0}^{1} - \frac{(-t)^n}{t+1} dt + \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1} dt}}$

لاحظ أن : $\displaystyle{\displaylines{ \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1}dt = \ln(2) }}$

ومنه فإن : $\displaystyle{\displaylines{S_n - \ln(2) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| = \left|\int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt\right|}}$

---

كما بينا في السؤال السابق لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| = \left|\int_{0}^{1} \frac{t^n}{t+1} dt\right|}}$

لاحظ أن $\displaystyle{\displaylines{ t \in [0, 1] }}$, إذن : $\displaystyle{\displaylines{ \frac{t^n}{t+1} \leq t^n}}$

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\left|\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{t^n}{t+1} dt\right| & \leq & \displaystyle\int_{0}^{1} \left| \dfrac{t^n}{t+1} \right| dt \\ \\~ & \leq & \displaystyle\int_{0}^{1} t^n dt = \dfrac{1}{n+1}\end{array}}}$

ومنه فإن :

$\displaystyle{\displaylines{ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| \leq \frac{1}{n+1} }}$

---

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, |S_n - \ln(2)| \leq \frac{1}{n+1} }}$

و $\displaystyle{\displaylines{\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{1}{n+1} = 0}}$.

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n\rightarrow + \infty} S_n = \ln(2)}}$

---

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{S_{2n} = \sum_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}}}$

نقوم بفصل الأعداد الزوجية والأعداد الفردية في المجموع :

$\displaystyle{\displaylines{S_{2n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{2 k-1}}{2 k} + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{2 k + 1 - 1}}{2 k + 1}}}$

$\displaystyle{\displaylines{S_{2n} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 k + 1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k} \tag{1}}}$

بالنسبة للمتسلسلة $\displaystyle{\displaylines{W_n}}$

$\displaystyle{\displaylines{W_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n}}}$

نقوم بتغيير للمتغير بحيث : $\displaystyle{\displaylines{p = k+n }}$

$\displaystyle{\displaylines{W_n = \sum_{p=n+1}^{2 n} \frac{1}{p}}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{W_n = \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$

نقوم بفصل الأعداد الزوجية والفردية في المجموع الأول :

$\displaystyle{\displaylines{W_n = \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2k+1}\right) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$

وبالتالي فإن :

$\displaystyle{\displaylines{W_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 k + 1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k} \tag{2}}}$

من $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2)}}$ لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, W_n = S_{2 n} }}$

بما أن $\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n\rightarrow + \infty} S_n = \ln(2) }}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n\rightarrow + \infty} S_{2n} = \ln(2)}}$

(لاحظ أن عكس هذه الخاصية ليس صحيحا دائما)

إذن : $\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n\rightarrow + \infty} W_n = \ln(2)}}$