الرياضيات بالعربية

متتالية فيبوناشي

نضع $ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

نعرف متتالية فيبوناشي Suite de Fibonacci كالآتي :

$\left\{\begin{matrix}u_0 = u_1 = 1\\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}\end{matrix}\right.$

1 ) بين أن $\varphi^2 = \varphi+ 1$ و $ \frac{1}{ \varphi } = \varphi - 1$ .

2 ) بين أن : $\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{\varphi^{n+1}})$

3 ) بين أن : $ \lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \varphi $
نعتبر المعادلة التالية في $\mathbb{R}$ :

$x^2 = x + 1$

لدينا : $ \Delta = 5 $

إذن حلول المعادلة هما :

$x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ و $x_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

لدينا : $ \varphi = x_1 $.

إذن $ \varphi^2 = \varphi+ 1 $.


لدينا : $ 1 = \varphi^2 - \varphi $ :

إذن :

$ \frac{1}{ \varphi } = \varphi - 1$


البرهان بالترجع من الدرجة 2 démonstration par récurrence d’ordre 2 :

من أجل $ n \, = 0$ لدينا $u_0 \, = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{0+1} + \frac{(-1)^{0}}{\varphi^{0+1}}) = 1$ .

من أجل $ n \, = 1$ لدينا $u_1 \, = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{1+1} + \frac{(-1)^{1}}{\varphi^{1+1}}) = 1$ .

لدينا الخاصية صحيحة من أجل $ n \, = 0 , 1$, نفترض أن $u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{\varphi^{n+1}})$ و $ u_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+2} + \frac{(-1)^{n+1}}{\varphi^{n+2}}) $

لنبين أن : $u_{n+2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+3} + \frac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{n+3}})$

لدينـــا :

$u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}$

إذن :

$u_{n+2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+1} \, (\varphi + 1) + \frac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{n+1}} \, (1 - \frac{1}{\varphi}))$

لدينا :

$\varphi + 1 = \varphi^2$ و $1 - \frac{1}{\varphi} = \frac{1}{\varphi^2}$

إذن :

$u_{n+2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+3} + \frac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{n+3}})$

إذن حسب البرهان بالترجع من الدرجة 2 لدينا :

$\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \, (\varphi^{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{\varphi^{n+1}})$


لدينا :

$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\varphi^{n+2} + \frac{(-1)^{n+1}}{\varphi^{n+2}}}{\varphi^{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{\varphi^{n+1}}}$

إذن :

$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\varphi + \frac{(-1)^{n+1}}{\varphi^{2 n+3}}}{1 + \frac{(-1)^{n}}{\varphi^{2 n+2}}}$

لدينا : $\varphi > 1$ إذن : $ \lim_{N \rightarrow + \infty} \frac{1}{\varphi^N} = 0$ .

إذن :

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\varphi^{2 n+3}} = \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{(-1)^{n}}{\varphi^{2 n+2}} = 0$

وبالتـــالي :

$ \lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \varphi$