الرياضيات بالعربية

متتالية تؤول إلى جذر مربع عدد موجب

متتالية Héron تمكن من حساب الجذر المربع لعدد موجب .

ليكن $a$ عدد حقيقي موجب قطعا, نعتبر المتتالية التالية :

$\left\{ \begin{array}{cl}u_{n+1} & = \ \dfrac{1}{2} (u_n + \dfrac{a}{u_n}) \\ \\u_0 & > \ 0\end{array} \right.$

1) بين أن : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_n \geq \sqrt{a} $ .

2) بين أن $( u_n )_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ تناقصية . ثم استنتج أنها متقاربة وحدد نهايتها .
لديـــنا :$\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_{n+1} = \frac{1}{2} (u_n + \frac{a}{u_n})$ .

لدينا : $\forall n \in \mathbb{N} \, : \, (u_n - \sqrt{a})^2 \geq 0 $ .

إذن :

$u_n^2 + a \geq 2 \sqrt{a} \, u_n$

( لا حظ أن $ \forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_n > 0$ ويمكننا القسمة على $u_n$ دون مشاكل. )

وبالتالي

$ u_{n+1} = \frac{1}{2} (u_n + \frac{a}{u_n}) \geq \sqrt{a} $.

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N} \, : \, u_{n+1} \geq \sqrt{a}$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_n \geq \sqrt{a}$


ليكن $n \in \mathbb{N}$ :

لدينا :

$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} ( \frac{a}{u_n} - u_n)$

لدينا :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, a \leq u_n^2$

إذن :

$\frac{a}{u_n} - u_n \leq 0$

وبالتـــالي :

$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} ( \frac{a}{u_n} - u_n) \leq 0$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_{n+1} \leq u_n$

$( u_n )_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ متتالية تناقصية .


لدينا $( u_n )_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ تناقصية ومصغورة بــ$\sqrt{a}$ إذن متقاربة ,

لتكن $l$ بحيث : $ \lim_{n\rightarrow + \infty} u_n = l$ .

( لاحظ أن $l \neq 0$ لأن $ \forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, u_n \geq \sqrt{a} > 0$. إذن $l>0$ )

لدينا : $ l = \frac{1}{2} (l + \frac{a}{l}) $.

إذن : $ l = \sqrt{a} $ وبالتالــــي :

$\lim_{n\rightarrow + \infty} u_n = \sqrt{a}$