بين أن $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} < 2}}$
بين أن $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$
استنتج تقارب أو تباعد المتسلسلة التالية من أجل $\displaystyle{\displaylines{m}}$ عدد صحيح طبيعي :
$\displaystyle{\displaylines{f_n(m) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^m}}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n,k \in \mathbb{N}^{*} }}$بحيث :
$\displaystyle{\displaylines{n, k \geq 2}}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k (k-1)}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k (k-1)}}}$لاحظ أن :
$\displaystyle{\displaylines{ \frac{1}{k (k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}}}$ (راجع :
متسلسلات تلسكوبية)
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k (k-1)} = - \frac{1}{n} + 1}}$وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2 \ : \ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 1 - \frac{1}{n}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n} < 2}}$إذن :$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} < 2 }}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{n,k \in \mathbb{N}^{*} }}$ بحيث
$\displaystyle{\displaylines{k \geq 2}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{ t \in [k, k+1] }}$ .
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\frac{1}{t} \leq \frac{1}{k}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt \leq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k} dt}}$وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\ln(k+1) - \ln(k) \leq \frac{1}{k}}}$وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} (\ln(k+1) - \ln(k)) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{m \in \mathbb{N}}}$إذا كان $\displaystyle{\displaylines{m = 0}}$ :لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{f_n(0) = \sum_{k=1}^{n} 1 = n}}$ . إذن
$\displaystyle{\displaylines{f_n(0)}}$ متباعدة Divérgente.
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{m = 1}}$ :لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{f_n(1) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$كما بينا سابقا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}}$بما أن :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} \ln(n+1) = + \infty}}$ فإن
$\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(1) = + \infty }}$وبالتاي
$\displaystyle{\displaylines{f_n(1)}}$ متباعدة .
إذا كان $\displaystyle{\displaylines{m \geq 2}}$ :إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{m=2}}$ :
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} }}$ تزايدية ,(
$\displaystyle{\displaylines{S_{n+1} - S_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0}}$ ) .
و
$\displaystyle{\displaylines{S_n}}$ مكبورة ب
$\displaystyle{\displaylines{2}}$ كما بينا سابقا .إذن
$\displaystyle{\displaylines{S_n}}$ متقاربة convergente .
إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{ m > 2}}$ :
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{f_n(m) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^m} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}= S_n}}$لاحظ أن
$\displaystyle{\displaylines{S_n}}$ متقاربة و
$\displaystyle{\displaylines{f_n(m)}}$ تزايدية .إذن
$\displaystyle{\displaylines{f_n(m)}}$ متقاربة .
