الرياضيات بالعربية

حدد تقارب المتتالية التالية

بين أن $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} < 2$

بين أن $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

استنتج تقارب أو تباعد السلسلة التالية من أجل $m$ عدد صحيح طبيعي :

$f_n(m) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^m}$
ليكن $n,k \in \mathbb{N}^{*} $ بحيث $k \geq 2$

لدينا :

$\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k (k-1)}$

إذن :

$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k (k-1)}$

لاحظ أن : $ \frac{1}{k (k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$. راجع : متسلسلات تلسكوبية .

إذن : $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k (k-1)} = - \frac{1}{n} + 1$

وبالتالي :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 1 - \frac{1}{n}$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n}$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} < 2 $


ليكن $n,k \in \mathbb{N}^{*} $ بحيث $k \geq 2$ و $ t \in [k, k+1] $ .

لدينا :

$\frac{1}{t} \leq \frac{1}{k}$

إذن :

$\int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} dt \leq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{k} dt$

وبالتالـــي :

$\ln(k+1) - \ln(k) \leq \frac{1}{k}$

وبالتالـــي :

$\sum_{k=1}^{n} (\ln(k+1) - \ln(k)) \leq \frac{1}{k}$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$


ليكن $m \in \mathbb{N}$

إذا كان $m = 0$ :

لدينا : $f_n(0) = \sum_{k=1}^{n} 1 = n$ . إذن $f_n(0)$ متباعدة Divérgente.

إذا كان $m = 1$ :

لدينا : $f_n(1) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ .

كما بينا سابقا : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

بما أن : $\lim_{n \rightarrow + \infty} \ln(n+1) = + \infty$ فإن $ \lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(1) = + \infty $

وبالتاي $f_n(1)$ متباعدة .

إذا كان $m \geq 2$ :

إذا كان : $m=2$ :

لدينا $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} $ تزايدية ,( $S_{n+1} - S_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$ ) .

و $S_n$ مكبورة ب $2$ كما بينا سابقا .إذن $S_n$ متقاربة convergente .

إذا كان $ m > 2$ :

لدينا :

$f_n(m) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^m} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}= S_n$

لاحظ أن $S_n$ متقاربة و $f_n(m)$ تزايدية .إذن $f_n(m)$ متقاربة .