أحسب المتسلسلات التالية

راجع رمز المجموع والضرب

---

لنبين أن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : \ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)}}$

الطريـقة الأولى :

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N} \ : \ (k+1)^2 - k^2 = 2 k +1 }}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ((k+1)^2 - k^2 ) & = & \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k+1) \\ & = & \displaystyle 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\ & = & \displaystyle 2 \sum_{k=1}^{n} k + n\end{array} \tag{1}}}$

ولدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ((k+1)^2 - k^2 ) & = & \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k+1)^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ & = & \displaystyle \sum_{p=2}^{n+1} p^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ & = & \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^2 \\ & = & (n+1)^2-1\end{array} \tag{2}}}$

من خلال $\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{(2)}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{(n+1)^2 - 1 = 2 \sum_{k=1}^{n} k + n}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)}}$


الطريقة الثانية :

البرهان بالترجع :

من أجل $\displaystyle{\displaylines{n = 1 }}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1}{2} 1 (1+1)}}$

إذن الخاصية صحيحة من أجل $\displaystyle{\displaylines{n = 1}}$

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) }}$ ولنبين أن $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{1}{2} (n+1) (n+2) }}$ .

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k & = & (n+1) + \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \\ \\~ & = & (n+1) + \dfrac{1}{2} n (n+1) \\ \\~ & = & \dfrac{1}{2} (n+1) (n+2)\end{array}}}$

إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)}}$

---

لنبين أن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n +1)}}$

الطريقة الأولى :

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3 k + 1}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ( (k+1)^3 - k^3 ) & = & \displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\ & = & 3 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + n \\\end{array}}}$

ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{n} ( (k+1)^3 - k^3 ) \, = (n+1)^3 - 1 }}$

بينا في السؤال السابق أن : $\displaystyle{\displaylines{ \sum_{k=1}^{n} k \, = \frac{1}{2} n (n+1) }}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{(n+1)^3 - 1 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{3}{2} n (n+1) + n}}$

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{3} \left((n+1)^3 -\frac{3}{2} n (n+1) - n - 1\right)}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n +1)}}$

الطريقة الثانية :

يمكننا أن نبين العلاقة عن طريق الترجع.

---

لنبين أن :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{1}{2} n (n+1))^2}}$

يمكننا أن نبينها بنفس الطريقة التي بينا بها ما سبق في الطريقة الأولى. لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{(k+1)^4 - k^4 = 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1}}$

الطريقة الثانية :
يمكننا أن نستعمل الترجع.