الرياضيات بالعربية

احسب المتسلسلات التالية

بين باستعمال طريقتين مختلفتين المتساويات التالية :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ :

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n +1)$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{1}{2} n (n+1))^2$

راجع رمز المجموع والضرب


لنبين أن : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)$

الطريــــــــقة الأولى :

لدينا : $\forall k \in \mathbb{N} \, : \, (k+1)^2 - k^2 \, = 2 k +1 $

إذن :

$\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^2 - k^2 ) \, = \sum_{k=1}^{n}(2k+1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

لدينا : $ \sum_{k=1}^{n} ((k+1)^2 - k^2 ) \, = (n+1)^2 - 1$

وبالتالي :

$(n+1)^2 - 1 \, = 2 \sum_{k=1}^{n} k + n$

إذن :

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)$

الطريــــــــقة الثانية :

البرهان بالترجع :

من أجل $ n \, = 1 $ لدينا : $ \sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1}{2} 1 (1+1) $ .

إذن الخاصية صحيحة من أجل $n \, = 1$

نفترض أن $ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) $ ولنبين أن $ \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{1}{2} (n+1) (n+2) $ .

لدينا :

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k & = & (n+1) + \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \\ \\~ & = & (n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) \\ \\~ & = & \frac{1}{2} (n+1) (n+2)\end{array}$

إذن حسب البرهان بالترجع لدينا :

$\large\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1)$


لنبين أن : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n +1)$

الطريــــــــقة الأولى :

لدينا :

$(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3 k + 1$

إذن :

$\sum_{k=1}^{n} ( (k+1)^3 - k^3 ) = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

لديـــنا : $ \sum_{k=1}^{n} ( (k+1)^3 - k^3 ) \, = (n+1)^3 - 1 $

لدينـــا : $ \sum_{k=1}^{n} k \, = \frac{1}{2} n (n+1) $

إذن

$(n+1)^3 - 1 \, = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{3}{2} n (n+1) + n$

وبالتالي :

$\sum_{k=1}^{n} k^2 \, = \frac{1}{3} ((n+1)^3 -\frac{3}{2} n (n+1) - n - 1)$

إذن :

$\large\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n +1)$

الطريــــــــقة الثانية :

يمكننا أن نبينها بالترجع بسهولة .


لنبين أن : $\forall n \in \mathbb{N} \, : \, \sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{1}{2} n (n+1))^2$

يمكننا أن نبينها بنفس الطريقة التي بينا بها ما سبق في الطريقة الأولى. لدينا :

$(k+1)^4 - k^4 = 4 k^3 + 6 k^2 + 4 k + 1$

الطريــــــــقة الثانية :

يمكننا أن نبينها بالترجع بسهولة .