الرياضيات بالعربية

درس التطبيقات

تعتبر التطبيقات من الدروس التمهيدية في التحليل الحقيقي، حيث سوف ندرس أنواع التطبيقات، والتطبيق العكسي ومركب التطبيقات. مرتكزين على نظرية المجموعات.

تعريف التطبيق

تعريف التطبيق
تعريف التطبيق
لتكن A و B مجموعتين غير فارغتين .
نقول أننا عرفنا تطبيقا من A نحو B إذا عرفنا علاقة تربط كل عنصر x من A بعنصر وحيد y من B.
$f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & y=f(x) \end{array}$

لدينا : $\Leftrightarrow (\forall x \in A) (\exists ! y \in B) : y = f(x) $ f تطبيق .

تعاريف :
  • y يُسمى صورة x بالتطبيق f .
  • x يُسمى سابق y بالتطبيق f .
  • المجموعة A تُسمى مجموعة الإنطلاق .
  • المجموعة B تُسمى مجموعة الوصول .

ملحوظة 1 : f تطبيق من A نحو B $\Leftrightarrow$ كل عنصر x من A له صورة وحيدة .

ملحوظة 2 : إذا كان f تطبيق من A نحو B فإنه يُمكن أن يكون لعنصر y من B أكثر من سابق .

ملحوظة 3 : يجب التفريق بين $f(x)$ و $f$ : لدينا $f(x) \in B$ ، بينما $f$ تمثل التطبيق ككل، وهي تنتمي إلى فضاء التطبيقات المعرفة من A نحو B .

* مثال :
مثال على تطبيق
مثال على تطبيق
  • لدينا : $A=\{1, 2, 3, 4\}$ و $B=\{5, 7, 11, 17, 23, 37\}$ .
  • لدينا : $f(1) = 7$$f(2) = 23$$f(3) = 7$$f(4) = 37$ .
  • لدينا : f تطبيق من A نحو B (كل عنصر x من A له صورة وحيدة ) .
  • لدينا : 5, 11 و17 ليس لهم سوابق بالتطبيق f .
  • لدينا : 7 لها سابقان : 1 و 3

تساوي تطبيقين

نعتبر التطبيقين: $f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & y=f(x) \end{array}$$g:\begin{array}{rcl}E & \rightarrow & F \\x & \rightarrow & y=g(x) \end{array}$

$f=g\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=E \,, B=F\\(\forall x \in A) \, f(x)=g(x)\end{matrix}\right.$

تمديد وقصور تطبيق

ليكن $f$ تطبيق و $H \subset A$:  $f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$$g:\begin{array}{rcl}H & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$

تعريف 1 :نقول أن $g$ قصور $f$ على H .
و في هذه الحالة لدينا : $(\forall x \in H) \,\, g(x) = f(x)$ .
بمعنى أنه عوض أن ندرس التطبيق $f$ على A ، سوف نقتصر على H .

تعريف 2 :نقول أن $f$ تمديد $g$ على A.
وفي هذه الحالة لدينا : $(\forall x \in A) \,\, f(x) = g(x)$ .
بمعنى أنه عوض أن ندرس $g$ على H ، مددنا مجموعة الإنطلاق لتشمل A.

الصورة المباشرة و الصورة العكسية لمجموعة

تعريف 1 : ليكن $H \subset A$ ، نعرف المجموعة $f(H)$ كالتالي : $f(H) = \{f(x) \, / \,x \in H\}$ .
$f(H)$ تسمى الصورة المباشرة لـH، وهي تمثل مجموعة صور عناصر H بالتطبيق $f$ .
* خصائص :
  • $f(H) \subset B$ .
  • $y \in f(H) \Leftrightarrow (\exists x \in H) \, f(x) = y$ .

تعريف 2 : ليكن $K \subset B$ ، نعرف المجموعة $f^{-1} (K)$ كالتالي : $f^{-1} (K) = \{ x \in A / \, f(x) \in K\} $.
$f^{-1} (K)$ تسمى الصورة العكسية لـK، وهي تمثل مجموعة سوابق عناصر K بالتطبيق $f$ .
* خصائص :
  • $f^{-1}(K) \subset A$
  • $x \in f^{-1}(K) \Leftrightarrow f(x) \in K$

* تمارين : نعتبر التطبيق التالي
$f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$

لتكن $H \subset A$ و $K \subset B$ .
  • بين أن $H \subset f^{-1}(f(H))$
  • بين أن $f(f^{-1}(K)) \subset K $

أنواع التطبيقات

كما قلنا سابقا، يكون $f$ تطبيق إذا وفقط إذا كان لكل عنصر x من A صورة وحيدة .
وقلنا أنه يمكن لعنصر y من B يمكن أن يكون له أكثر من سابق .
الآن سوف ننظم هذه الخصائص في تعاريف ليسهل التعامل معها :
نعتبر التطبيق التالي :
$f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$

التطبيق التبايني

نقول أن $f$ تطبيق تبايني إذا وفقط إذا كان كل عنصر y من B له سابق على الأكثر :
بمعنى لكل y من B له سابق وحيد إذا وُجد .
$ \Leftrightarrow \forall (x, y) \in A^{2} \, : \, ( f(x) = f(y) \Rightarrow x = y ) $ $ f$ تطبق تبايني.

بين أن : $f$ تطبيق تبايني $\forall H \in P(A)\, : \, f^{-1}(f(H)) = H \Leftrightarrow$

التطبيق الشمولي

نقول إن $f$ تطبيق شمولي إذا وفقط إذا كان كل عنصر y من B له سابق على الأقل .
بمعنى أن جميع عناصر B لها سابق واحد أو أكثر .
$ \Leftrightarrow (\forall y \in B) \, (\exists x \in A) \, : \, y = f(x) $ $ f$ تطبق شمولي.
بين أن : $ \Leftrightarrow f(A) = B$ $f$ تطبيق شمولي

التطبيق التقابلي

نقول إن $f$ تطبيق تقابلي إذا وفقط إذا كان كل عنصر y من B له سابق وحيد .
$ \Leftrightarrow (\forall y \in B) \, (\exists ! x \in A) \, : \, y=f(x)$ $f$ تطبيق تقابلي.

يمكننا أن نبين بسهولة أن $f$ تطبيق تقابلي $ \Leftrightarrow $ $f$ تبايني وشمولي .

ملحوظة : طبيعة التطبيق (تبايني أو شمولي ) تتعلق بمجموعة الإنطلاق و مجموعة الوصول و صيغة التطبيق ${\color{DarkRed} f(x) }$ .

* مثال : نعرف التطبيقات التالية :
$f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}$$g:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}$$h:\begin{array}{rcl}[0, +\infty [ & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}$


مثال على تطبيق
مبيان يمثل الدالة x² (باللون الأحمر ) .
و الدالة العكسية لها : الجذر التربيعي لx (باللون الأزرق) .
و يظهر كيف أن المنحيين متماثلان بالنسبة للمستقيم y=x .
  • لدينا $f(2) = f(-2) = 4$ : إذن التطبيق $f$ ليس تبايني . (لأن $4 \in \mathbb{R} $ له سابقان مختلفان .)
  • لدينا $-4 \in \mathbb{R} $ لكن $-4$ ليس له سابق بالتطبيق $f$ لأن المعادلة $x^{2} = -4 $ ليس لها حل في $\mathbb{R}$ . إذن $f$ ليس تطبيق شمولي .
  • لدينا $g(2) = g(-2) = 4$ : إذن التطبيق $g$ ليس تبايني . (لأن $4 \in [0, +\infty [ $ له سابقان مختلفان .)
  • ليكن $y \in [0, +\infty [ $ : المعادلة $x^{2} = y$ دائما تقبل حلا في $\mathbb{R}$ . إذن التطبيق $g$ شمولي .
  • ليكن $(x, y) \in [0, +\infty [^{2}$, لدينا $f(x)=f(y) \Rightarrow x^{2} = y^{2} \Rightarrow x = y$ . إذن التطبيق $h$ تطبيق تبايني .
  • ليكن $y \in [0, +\infty [ $ : المعادلة $x^{2} = y$ دائما تقبل حلا في $[0, +\infty [ $ . إذن التطبيق $h$ شمولي .



مركب تطبيقين

نعتبر التطبيقين :
$f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$$g:\begin{array}{rcl}G & \rightarrow & H \\x & \rightarrow & g(x) \end{array}$

إذا كان $g(G) \subset A$ نعرف التطبيق $f \circ g$ كما يلي :
$f \circ g:\begin{array}{rcl}G & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(g(x)) \end{array}$

ملاحظة : لاحظ أنه لا يمكننا أن نتكلم عن $f(g(x))$ حتى يكون $g(x) \in A$، لهذا فـ $g(G) \subset A$ يعتبر شرطاً أساسيا حتى يكون للتطبيق $f \circ g$ معنى .

التطبيق العكسي

ليكن $f$ تطبيقا تقابليا من A نحو B :
$f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}$

نعرف التطبيق العكسي لــ$f$ كما يلي :
$f^{-1}:\begin{array}{rcl}B & \rightarrow & A \\y & \rightarrow & f^{-1}(y) \end{array}$

ليكن $y \in B$، بما أن $f$ تقابل فإنه يوجد x وحيد من A بحيث : $y = f(x)$، لدينا :
$ f(x) = y \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) $.

ملحوظة 1 : إذا كان $f$ تقابل من A نحو B فإن $f^{-1}$ تقابل من B نحو A .

ملحوظة 2 : لدينا $f(f^{-1}(x)) = x $ و $f^{-1}(f(x)) = x$.

* ملحوظة هامة : ليكن ${\color{DarkRed} y \in B}$. لا يمكننا التكلم عن ${\color{DarkRed} f^{-1}(y) }$ حتى يكون التطبيق ${\color{DarkRed} f}$ تقابلا من A نحو B.
بينما إذا كان ${\color{DarkRed} K \subset B}$ يمكننا دائما التكلم عن ${\color{DarkRed} f^{-1}(K) }$ حتى و إن لم يكن التطبيق تقابلا .


* مثال :
كما بينا سابقا لدينا التطبيق التالي تقابل :
$f:\begin{array}{rcl}[0, +\infty [ & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}$

و تطبيقه العكسي هو التالي :
$f^{-1}:\begin{array}{rcl}[0, +\infty [ & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & \sqrt{x}\end{array}$



ملحوظة: ينصح بهذا الدرس لطلبة الأولى باك علوم رياضية وكذا ثانية باك علوم رياضية وأيضا الشعب العلمية الأخرى.