Lagrida

درس التطبيقات

تعريف التطبيق

تعريف التطبيق
تعريف التطبيق
لتكن $\displaystyle{\displaylines{A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B}}$ مجموعتين غير فارغتين .

نقول أننا عرفنا تطبيقا من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ إذا عرفنا علاقة تربط كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ بعنصر وحيد $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$.

$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & y=f(x) \end{array}}}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\iff (\forall x \in A) (\exists ! y \in B) : y = f(x) }}$ $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق .

تعاريف :
  • $\displaystyle{\displaylines{y}}$ يُسمى صورة $\displaystyle{\displaylines{x}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .

  • $\displaystyle{\displaylines{x}}$ يُسمى سابق $\displaystyle{\displaylines{y}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .

  • المجموعة $\displaystyle{\displaylines{A}}$ تُسمى مجموعة الإنطلاق .

  • المجموعة $\displaystyle{\displaylines{B}}$ تُسمى مجموعة الوصول .

ملحوظة 1 : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ $\displaystyle{\displaylines{\iff}}$ كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ له صورة وحيدة .

ملحوظة 2 : إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ فإنه يُمكن أن يكون لعنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ أكثر من سابق .

ملحوظة 3 : يجب التفريق بين $\displaystyle{\displaylines{f(x)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f}}$ : لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(x) \in B}}$ ، بينما $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تمثل التطبيق ككل، وهي تنتمي إلى فضاء التطبيقات المعرفة من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ .

* مثال :
مثال على تطبيق
مثال على تطبيق
  • لدينا : $\displaystyle{\displaylines{A=\{1, 2, 3, 4\}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{B=\{5, 7, 11, 17, 23, 37\}}}$ .

  • لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f(1) = 7}}$$\displaystyle{\displaylines{f(2) = 23}}$$\displaystyle{\displaylines{f(3) = 7}}$$\displaystyle{\displaylines{f(4) = 37}}$ .

  • لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ (كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ له صورة وحيدة ) .

  • لدينا : $\displaystyle{\displaylines{5}}$, $\displaystyle{\displaylines{11}}$ و$\displaystyle{\displaylines{17}}$ ليس لهم سوابق بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .

  • لدينا : $\displaystyle{\displaylines{7}}$ لها سابقان : $\displaystyle{\displaylines{1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{3}}$

تساوي تطبيقين

نعتبر التطبيقين:

$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & y=f(x) \end{array}\ , \qquad g:\begin{array}{rcl}E & \rightarrow & F \\x & \rightarrow & y=g(x) \end{array}}}$


لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{f=g \iff \left\{\begin{matrix}A=E , \ B=F\\(\forall x \in A) \ : \ f(x)=g(x)\end{matrix}\right.}}$

تمديد وقصور تطبيق

ليكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ و $\displaystyle{\displaylines{H \subset A}}$:

$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}\ , \qquad g:\begin{array}{rcl}H & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$


تعريف 1 :نقول أن $\displaystyle{\displaylines{g}}$ قصور $\displaystyle{\displaylines{f}}$ على $\displaystyle{\displaylines{H}}$ .
و في هذه الحالة لدينا : $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in H) \,\, g(x) = f(x)}}$ .
بمعنى أنه عوض أن ندرس التطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ على $\displaystyle{\displaylines{A}}$ ، سوف نقتصر على $\displaystyle{\displaylines{H}}$ .

تعريف 2 :نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تمديد $\displaystyle{\displaylines{g}}$ على $\displaystyle{\displaylines{A}}$.
وفي هذه الحالة لدينا : $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in A) \,\, f(x) = g(x)}}$ .
بمعنى أنه عوض أن ندرس $\displaystyle{\displaylines{g}}$ على $\displaystyle{\displaylines{H}}$ ، مددنا مجموعة الإنطلاق لتشمل $\displaystyle{\displaylines{A}}$.

الصورة المباشرة و الصورة العكسية لمجموعة

نعتبر التطبيق :

$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$

تعريف 1 : ليكن $\displaystyle{\displaylines{H \subset A}}$ ، نعرف المجموعة $\displaystyle{\displaylines{f(H)}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{f(H) = \{f(x) \ | \ x \in H\}}}$ .

$\displaystyle{\displaylines{f(H)}}$ تسمى الصورة المباشرة لـ$\displaystyle{\displaylines{H}}$، وهي تمثل مجموعة صور عناصر $\displaystyle{\displaylines{H}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .

* مثال :
مثال تطبيق
مثال تطبيق


لتكن $\displaystyle{\displaylines{H = \{1, 4\} \subset A}}$, لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(H)=\{7, 37\}}}$

* خصائص :
  • $\displaystyle{\displaylines{f(H) \subset B}}$ .

  • $\displaystyle{\displaylines{y \in f(H) \iff (\exists x \in H) \, f(x) = y}}$ .

تعريف 2 : ليكن $\displaystyle{\displaylines{K \subset B}}$ ، نعرف المجموعة $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K)}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K) = \{ x \in A \ | \ f(x) \in K\} }}$.

$\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K)}}$ تسمى الصورة العكسية لـ$\displaystyle{\displaylines{K}}$، وهي تمثل مجموعة سوابق عناصر $\displaystyle{\displaylines{K}}$ بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ .

* مثال : نأخذ نفس المثال السابق, من أجل $\displaystyle{\displaylines{K=\{7, 23\} \subset B}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K) = \{1,2,3\}}}$
من أجل $\displaystyle{\displaylines{K=\{5, 11\}}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{f^{-1} (K) = \emptyset}}$

* خصائص :
  • $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}(K) \subset A}}$

  • $\displaystyle{\displaylines{x \in f^{-1}(K) \iff f(x) \in K}}$

* تمارين : نعتبر التطبيق التالي
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$

لتكن $\displaystyle{\displaylines{H \subset A}}$ و $\displaystyle{\displaylines{K \subset B}}$ .

  • بين أن $\displaystyle{\displaylines{H \subset f^{-1}(f(H))}}$

  • بين أن $\displaystyle{\displaylines{f(f^{-1}(K)) \subset K }}$

أنواع التطبيقات

كما بينا سابقا، يكون $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق إذا وفقط إذا كان لكل عنصر $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ صورة وحيدة .

وقلنا أنه يمكن لعنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ يمكن أن يكون له أكثر من سابق .

الآن سوف ننظم هذه الخصائص في تعاريف ليسهل التعامل معها :

نعتبر التطبيق التالي :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$

التطبيق التبايني

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تبايني إذا وفقط إذا كان كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق على الأكثر :

بمعنى لكل $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق وحيد إذا وُجد .

$\displaystyle{\displaylines{ \iff \forall (x, y) \in A^{2} \, : \, ( f(x) = f(y) \Rightarrow x = y ) }}$ $\displaystyle{\displaylines{ f}}$ تطبق تبايني.


بين أن : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تبايني $\displaystyle{\displaylines{\forall H \in \mathscr{P}(A)\ : \ f^{-1}(f(H)) = H \iff}}$

التطبيق الشمولي

نقول إن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي إذا وفقط إذا كان كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق على الأقل .

بمعنى أن جميع عناصر $\displaystyle{\displaylines{B}}$ لها سابق واحد أو أكثر .

$\displaystyle{\displaylines{ \iff (\forall y \in B) \, (\exists x \in A) \ : \ y = f(x) }}$ $\displaystyle{\displaylines{ f}}$ تطبق شمولي.


بين أن : $\displaystyle{\displaylines{ \iff f(A) = B}}$ $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق شمولي

التطبيق التقابلي

نقول إن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تقابلي إذا وفقط إذا كان كل عنصر $\displaystyle{\displaylines{y}}$ من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ له سابق وحيد .

$\displaystyle{\displaylines{ \iff (\forall y \in B) \, (\exists ! x \in A) \ : \ y=f(x)}}$ $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تقابلي.


يمكننا أن نبين بسهولة أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيق تقابلي $\displaystyle{\displaylines{ \Leftrightarrow }}$ $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تبايني وشمولي .

ملحوظة : طبيعة التطبيق (تبايني أو شمولي ) تتعلق بمجموعة الإنطلاق و مجموعة الوصول و صيغة التطبيق $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f(x) }}}$ .

* مثال: نعرف التطبيقات التالية :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}\ , \quad g:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}\ , \quad h:\begin{array}{rcl}[0, +\infty [ & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}}}$


مثال على تطبيق
صورة تمثل الدالة $\displaystyle{\displaylines{\small x \to x^2}}$ (باللون الأحمر ) .
و الدالة العكسية لها على المجال $\displaystyle{\displaylines{\small [0, +\infty[}}$ : الجذر التربيعي لx (باللون الأزرق) .
و يظهر كيف أن المنحيين متماثلان بالنسبة للمستقيم y=x .
  • لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(2) = f(-2) = 4}}$ : إذن التطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ ليس تبايني . (لأن $\displaystyle{\displaylines{4 \in \mathbb{R} }}$ له سابقان مختلفان .)

  • لدينا $\displaystyle{\displaylines{-4 \in \mathbb{R} }}$ لكن $\displaystyle{\displaylines{-4}}$ ليس له سابق بالتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f}}$ لأن المعادلة $\displaystyle{\displaylines{x^{2} = -4 }}$ ليس لها حل في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ . إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ ليس تطبيق شمولي .

  • لدينا $\displaystyle{\displaylines{g(2) = g(-2) = 4}}$ : إذن التطبيق $\displaystyle{\displaylines{g}}$ ليس تبايني . (لأن $\displaystyle{\displaylines{4 \in [0, +\infty [ }}$ له سابقان مختلفان .)

  • ليكن $\displaystyle{\displaylines{y \in [0, +\infty [ }}$ : المعادلة $\displaystyle{\displaylines{x^{2} = y}}$ دائما تقبل حلا في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ . إذن التطبيق $\displaystyle{\displaylines{g}}$ شمولي .

  • ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x, y) \in [0, +\infty [^{2}}}$, لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(x)=f(y) \Rightarrow x^{2} = y^{2} \Rightarrow x = y}}$ . إذن التطبيق $\displaystyle{\displaylines{h}}$ تطبيق تبايني .

  • ليكن $\displaystyle{\displaylines{y \in [0, +\infty [ }}$ : المعادلة $\displaystyle{\displaylines{x^{2} = y}}$ دائما تقبل حلا في $\displaystyle{\displaylines{[0, +\infty [ }}$ . إذن التطبيق $\displaystyle{\displaylines{h}}$ شمولي .

مركب تطبيقين

نعتبر التطبيقين :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$$\displaystyle{\displaylines{g:\begin{array}{rcl}G & \rightarrow & H \\x & \rightarrow & g(x) \end{array}}}$

إذا كان $\displaystyle{\displaylines{g(G) \subset A}}$ نعرف التطبيق $\displaystyle{\displaylines{f \circ g}}$ كما يلي :
$\displaystyle{\displaylines{f \circ g:\begin{array}{rcl}G & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(g(x)) \end{array}}}$

ملاحظة : لاحظ أنه لا يمكننا أن نتكلم عن $\displaystyle{\displaylines{f(g(x))}}$ حتى يكون $\displaystyle{\displaylines{g(x) \in A}}$، لهذا فإن الشرط $\displaystyle{\displaylines{g(G) \subset A}}$ يعتبر أساسيا حتى يكون للتطبيق $\displaystyle{\displaylines{f \circ g}}$ معنى .

التطبيق العكسي

ليكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تطبيقا تقابليا من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}A & \rightarrow & B \\x & \rightarrow & f(x) \end{array}}}$

نعرف التطبيق العكسي لــ$\displaystyle{\displaylines{f}}$ كما يلي :
$\displaystyle{\displaylines{f^{-1}:\begin{array}{rcl}B & \rightarrow & A \\y & \rightarrow & f^{-1}(y) \end{array}}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{y \in B}}$، بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ فإنه يوجد $\displaystyle{\displaylines{x}}$ وحيد من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ بحيث : $\displaystyle{\displaylines{y = f(x)}}$، لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{ f(x) = y \iff x = f^{-1}(y) }}$.

ملحوظة 1 : إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{B}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{A}}$ .


ملحوظة 2 :
$\displaystyle{\displaylines{\left\{ \begin{array}{cl}\forall x \in A & : \ f^{-1}(f(x))=x \\\forall x \in B & : \ f(f^{-1}(x)) = x\end{array} \right.}}$

* ملحوظة هامة : ليكن $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} y \in B}}}$. لا يمكننا التكلم عن $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f^{-1}(y) }}}$ حتى يكون التطبيق $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f}}}$ تقابلا من $\displaystyle{\displaylines{A}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{B}}$.
بينما إذا كان $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} K \subset B}}}$ يمكننا دائما التكلم عن $\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} f^{-1}(K) }}}$ حتى و إن لم يكن التطبيق تقابلا .


* مثال :
كما بينا سابقا لدينا التطبيق التالي تقابل :
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}[0, +\infty [ & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & x^{2}\end{array}}}$

و تطبيقه العكسي هو التالي :
$\displaystyle{\displaylines{f^{-1}:\begin{array}{rcl}[0, +\infty [ & \rightarrow & [0, +\infty [ \\x & \rightarrow & \sqrt{x}\end{array}}}$



ملحوظة: ينصح بهذا الدرس لطلبة الأولى باك علوم رياضية وكذا ثانية باك علوم رياضية وأيضا الشعب العلمية الأخرى.
التعليقات :
Hãnānę Kå
13/07/2019 03:48
Jamil
لايباسيب
30/03/2021 16:06
$\displaystyle{\displaylines{\Theta\Pi\Xi}}$
بشير
14/12/2022 00:49
شكرا بارك الله فيكم
Al kharashi
21/03/2024 03:55
جزاكم الله على المجهود .
لكن لم أجد الإثبات للتعاريف .
تعريف 2 :نقول أن f
تمديد g
على A
.
وفي هذه الحالة لدينا : (∀x∈A)f(x)=g(x)
.
بمعنى أنه عوض أن ندرس g
على H
، مددنا مجموعة الإنطلاق لتشمل A
Al kharashi
21/03/2024 03:56
هل يوجد اثبات
إضافة تعليق