الرياضيات بالعربية

دالة الجزء الصحيح

تعريف دالة الجزء الصحيح
نعرف دالة الجزء الصحيح لمتغير حقيقي $x$ على أنها أكبر عدد صحيح نسبي $n$ يحقق $n \leq x$ :

$\text{E} :\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{Z} \\x & \rightarrow & \text{E}(x) = \max\{n \in \mathbb{Z} \, | \, n \leq x\} \end{array}$


ترميز : نرمز لدالة الجزء الصحيح بـ $\text{E}(x)$ أو $\text{floor}(x)$ أو $[x]$ أو $\lfloor x \rfloor$.
وفي كل ما سيأتي سوف نستخدم $\text{E}(x)$ لتمثيل الجزء الصحيح للعدد $x$.

خصائص : دالة الجزء الصحيح هي دالة مهمة في التحليل الحقيقي, وهي تتمتع بالعديد من الخصائص :
ليكن $x \in \mathbb{R}$ انطلاقا من تعريف دالة الجزء الصحيح, لدينا :

$\begin{array}{rcl}\text{E}(x) = n & \iff & n \leq x < n + 1 \\ \\& \iff & x - 1 < n \leq x \end{array}$

أو بصيغة أخرى لدينا :

$\begin{array}{rcl}\forall x \in \mathbb{R} & : & x - 1 < \text{E}(x) \leq x \\ \\& : & \text{E}(x) \leq x < \text{E}(x) + 1 \end{array}$

أمثلة :
  • $\text{E}(5.36) = 5$
  • $\text{E}(1.999) = 1 $
  • $\text{E}(-3) = -3$
  • $\text{E}(-3.14) = -4$

ليكن $n, m \in \mathbb{Z}$ و $x$ عدد حقيقي, لدينا :

$\begin{array}{rcl}n < x & \implies & n \leq \text{E}(x) \\ \\x < m & \implies & \text{E}(x) < m \end{array}$

وبالتالي فإنه وإذا كان $x \in ]n,m[$ بحيث $n$ و $m$ أعداد صحيحة نسبية فإن $\text{E}(x) \in \{n,n+1,\cdots,m-1\}$.

ملاحظة : يجب الحذر مع أطراف المجالات في التعامل مع دالة الجزء الصحيح, ويجب دائما استحظار التعريف أن $\text{E}(x)$ تمثل أكبر عدد صحيح نسبي يحقق $\text{E}(x)=n \leq x$.

تمرين 1 : بين الخاصيات التالية :

$(\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{Z}) \, : \quad \text{E}(x + n) = n + \text{E}(x)$

$(\forall x,y \in \mathbb{R}) \, : \quad \text{E}(x) + \text{E}(y) \leq \text{E}(x + y) \leq \text{E}(x) + \text{E}(y) + 1$

$(\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \, : \quad 0 \leq \text{E}(n x) - n \text{E}(x) \leq n - 1$


تصحيح التمرين : تمرين حول دالة الجزء الصحيح.

تمرين 2 : ليكن $a,b \in \mathbb{N}^{*}$.
نقوم بالقسمة الأقليدية للعدد $a$ على $b$ : $a = bq + r \, , \quad 0 \leq r < b$, بين أن : $q = \text{E}\left( \frac{a}{b} \right)$

بين أن : $\forall n,p,q \in \mathbb{N}^{*} \, : \quad \text{E}\left( \frac{\text{E}\left( \frac{n}{p} \right)}{q} \right) = \text{E}\left( \frac{n}{p q} \right)$

تصحيح التمرين : بين المتساويتين.

دراسة الدالة f(x) = E(x) :
fonction partie entière
رسم دالة الجزء الصحيح
الدالة E تزايدية على IR : ليكن $x, y \in \mathbb{R}$ بحيث $x \leq y$.
نعتبر المجموعتين $A_x = \{ n \in \mathbb{Z} \, | \, n \leq x \} \quad A_y = \{ n \in \mathbb{Z} \, | \, n \leq y \}$

لدينا $x \leq y \implies A_x \subset A_y$

إذن $\max A_x \leq \max A_y$

إذن $\text{E}(x) \leq \text{E}(y)$

وبالتالي فإن الدالة $E$ تزايدية على $\mathbb{R}$

الدالة E غير متصلة من أجل $\color{DarkRed} n \in \mathbb{Z}$ : لدينا $\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [n, n+1[$

وبالتالي $\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \in [n,n+1[ \, : \quad \text{E}(x) = n$

لدينا $\lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x > n }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x > n }} n = n$

ولدينا $\forall x \in [n-1,n[ \, : \quad \text{E}(x) = n-1$

وبالتالي $\lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x < n }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow n \\ x < n }} n-1 = n-1$

لاحظ أن النهاية على اليمين تخالف النهاية على اليسار وبالتالي فإن الدالة $\text{E}$ غير متصلة في النقطة $n$. إذن $E$ ليست متصلة من أجل $x \in \mathbb{Z}$.

الدالة E متصلة على يمين كل نقطة a من IR:

لدينا $\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x \in [n,n+1[ \, : \quad \text{E}(x) = n$

ليكن $a \in [n,n+1[$ :

إذا كان $a \in \mathbb{Z}$ فإن $a=n$ وكما بينا سابقا $\lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} a = a = \text{E}(a)$

إذا كان $a \notin \mathbb{Z}$ لدينا $\lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} \text{E}(x) = \lim_{\substack{ x \rightarrow a \\ x > a }} n = n = \text{E}(a)$

وبالتالي فإن الدالة E متصلة على يمين كل نقطة x من $\mathbb{R}$