متى صفر أس صفر يساوي واحد ؟

من المعلوم أن $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R}^{*} \, : \, x^0 = 1}}$ . لأن :

$\displaystyle{\displaylines{x^0 = x^{1-1} = \frac{x}{x} = 1}}$

وكما هو معلوم : $\displaystyle{\displaylines{\forall a > 0 , \quad 0^a = 0}}$

الآن سوف ندرس الحالة $\displaystyle{\displaylines{x=0}}$ و $\displaystyle{\displaylines{a=0}}$ وسوف نرى متى تكون حالة غير محددة.

نعتبر $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ دالتين معرفتين على مجال $\displaystyle{\displaylines{]0, a[}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{a > 0}}$,

بحيث $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0,a[ \,\, , f(x) > 0 \,\, , g(x) > 0}}$

ونفترض أن $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} g(x) = 0}}$

1) بين أن $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^+} f(x)^{f(x)}=1}}$

2) أحسب النهاية $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^+} f(x)^{g(x)}}}$ في الحالات التالية :

$\displaystyle{\displaylines{f(x) = e^{-\frac{1}{x}}\, , \quad g(x) = x}}$

$\displaystyle{\displaylines{f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}\, , \quad g(x) = x}}$

$\displaystyle{\displaylines{f(x) = e^{-\frac{1}{x}}\, , \quad g(x) = x^2}}$

3) استنتج

نضع $\displaystyle{\displaylines{X = f(x)}}$, لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^+ \iff \lim_{X \to 0^+} X = 0^+}}$

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)^{f(x)} & = & \displaystyle \lim_{X \to 0^+} X^X \\ \\& = & \displaystyle \lim_{X \to 0^+} e^{X \ln(X)} \\ \\& = & e^0 \\ \\& = & 1\end{array}}}$

النهاية الأولى :

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( e^{-\frac{1}{x}} \right)^{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{-1} \\ \\& = & e^{-1}\end{array}}}$

النهاية الثانية:

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( e^{-\frac{1}{x^2}} \right)^{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{-\frac{1}{x}} \\ \\& = & 0\end{array}}}$

النهاية الثالثة:

$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( e^{-\frac{1}{x}} \right)^{x^2} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{-x} \\ \\& = & 1\end{array}}}$

انطلاقا من السؤال الأول لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^+} f(x)^{f(x)}=1}}$

لاحظ أن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ يمكننا اختيارها كيفما أردنا بشرط تحقيقها أنها موجبة على يمين $\displaystyle{\displaylines{0}}$ وتؤول إلى الصفر عند يمين $\displaystyle{\displaylines{0}}$.

وبالتالي فإن $\displaystyle{\displaylines{\large 0^0 = 1}}$ في هذه الحالة.

أما الحالة التي يكون فيها صفر الأس لا يتقارب إلى الصفر بنفس طريقة صفر الأساس فإننا نكون في حالة غير محددة (حالة عدم تعين)

وكما يبين السؤال الثاني فإنه يمكن الحصول على العديد من النتائج :

لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln(f(x))}}}$ وبالتالي فإن النهاية $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^+} f(x)^{g(x)}}}$ تعتمد على قيمة النهاية $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \to 0^+} g(x) \ln(f(x))}}$ والتي يمكن أن تأخذ قيما مختلفة بتغير الدالتين $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$.