الرياضيات بالعربية

لماذا مضروب 0 يساوي 1 (0 عاملي)


التعريف الأولي لمضروب $n$ (أو $n$ عاملي - باللغة الفرنسية factoriel $n$) هو :

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2$

واصطلاحا يضع العلماء $0! = 1$ وسوف نكتشف الأسباب التي تقف وراء هذا الإصطلاح.
السبب الأول:

يحقق مضروب $n$ العلاقة الترجعية التالية :

$\left\{ \begin{array}{cl}n! & = \ n \times (n-1)! \, , \quad n \geq 3 \\2! & = \ 2\end{array} \right.$

لدينا : $2! = 2 \times 1! = 2$

وبالتالي فإن $1! = 1$ ولدينا أيضا :

$1! = 1 \times 0! = 1$

وبالتالي وحفاظا على نفس العلاقة فإنه لدينا :

$\large 0! = 1$


السبب الثاني:

نعرف المجموعة $A = \{x_1, x_2, \cdots , x_n\}$

نعلم أن عدد التأليفات لـ$p$ عنصر من $n$ عنصر هو $\text{C}_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n-p)!}$

نعلم أن عدد التأليفات لـ$p$ عنصر من $n$ عنصر يمثل عدد المجموعات الجزئية

التي تحتوي على $p$ عنصر لمجموعة عدد عناصرها $n$ عنصر.

مثال : عدد عناصر المجموعة $A$ هو $n$ عنصر.

ويمكن إيجاد $n = \text{C}_{n}^{1} = \frac{n!}{1! (n-1)!}$ مجموعة جزئية عدد عناصرها هو $1$, هذه المجموعات الجزئية هي $\{x_1\}, \{x_2\}, \cdots , \{x_n\}$

لدينا عدد التأليفات لـ$n$ عنصر من $n$ عنصر : $\text{C}_{n}^{n} = \frac{n!}{n! 0!}$

وبما أن عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي على $n$ عنصر لمجموعة تحتوي $n$ عنصر هو $1$ فإن :

$\text{C}_{n}^{n} = \frac{n!}{n! 0!} = 1$ وبالتالي :

$\large 0! = 1$


السبب الثالث:

ليكن $z \in \mathbb{C}$

نعرف دالة غاما : $\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \,\, , \quad \Re(z) > 0$

الدالة غاما تحقق العلاقة :

$\left\{ \begin{array}{cl}\Gamma(z+1) & = \ z \, \Gamma(z) \, \\\Gamma(1) & = \ 1\end{array} \right.$

ويمكننا الإثبات (بالترجع) أن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2 \, , \Gamma(n) = (n-1)!$

وبما أن $\Gamma(1) = 1$ فإنه لدينا $0! = 1$.

الدالة $\Gamma$ هي تمديد مضروب $n$ للأعداد المركبة.

نجد مثلا $(0.5)! = \Gamma\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$