الرياضيات بالعربية

الأس يفوق اللوغاريتم

بين الآتي :

$\forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \ln(x) = 0$

$\forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0$
كما بينا هنا : نهاية تؤول إلى دالة ln لدينا :

$(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \,( \forall x \in ]0, + \infty [ ) \, : \, n (1 - x^{\frac{-1}{n}}) \leq \ln(x) \leq n ( x^{\frac{1}{n}} - 1)$

من أجل $ \alpha \in \mathbb{R}^{*}_{+} $ لدينا :

$(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \,( \forall x \in ]0, 1] ) \, :$
$ n x^{ \alpha } (1 - x^{\frac{-1}{n}}) \leq x^{ \alpha } \ln(x) \leq n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1)$

إذن :

$(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \,( \forall x \in ]0, 1] ) \, : $
$ n x^{ \alpha - \frac{1}{n}} (x^{\frac{1}{n}} - 1) \leq x^{ \alpha } \ln(x) \leq n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1)$

يمكننا اختيار $ n $ من $ \mathbb{N}^{*} $ بحيث : $ \alpha - \frac{1}{n} > 0 $

لدينا :

$\alpha - \frac{1}{n} > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{ \alpha } < n$

إذن من أجل : $ n = E(\frac{1}{ \alpha }) + 1$ لدينا : $ \alpha - \frac{1}{n} > 0 $

و $ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{ \alpha - \frac{1}{n}} = 0$

إذن :

لتكن : $ n = E(\frac{1}{ \alpha }) + 1$

$\forall x \in ]0, 1] \, : $
$n x^{ \alpha - \frac{1}{n}} (x^{\frac{1}{n}} - 1) \leq x^{ \alpha } \ln(x) \leq n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1) $

لدينا :

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1) = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} n x^{ \alpha - \frac{1}{n}} (x^{\frac{1}{n}} - 1) = 0$

إذن :

${\color{DarkRed} \forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \ln(x) = 0}$


لتكن : $ \alpha \in \mathbb{R}^{*}_{+} $

بالنسبة للنهاية التالية يمكننا وضع $ x = \frac{1}{t} $

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \ln(x) = \lim_{t \rightarrow + \infty } \frac{ - \ln(t)} {t^{\alpha}} = 0$

إذن :

${\color{DarkRed} \forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{ \ln(x)} {x^{\alpha}} = 0}$