بين الآتي :
$\displaystyle{\displaylines{\forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \ln(x) = 0}}$
$\displaystyle{\displaylines{\forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0}}$
باستعمال نفس الطريقة يمكننا إثبات أيضا أن $\displaystyle{\displaylines{(\forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+) \ (\forall \beta \in \mathbb{R}) \ : \ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)^{\beta}}{x^{\alpha}} = 0}}$
نقول أن أي قوة تتفوق على اللوغاريتم (la puissance l'emporte sur le logarithme)كما بينا هنا :
نهاية تؤول إلى دالة ln لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \,( \forall x \in ]0, + \infty [ ) \, : \, n (1 - x^{\frac{-1}{n}}) \leq \ln(x) \leq n ( x^{\frac{1}{n}} - 1)}}$من أجل
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \in \mathbb{R}^{*}_{+} }}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \,( \forall x \in ]0, 1] ) \ : \ n x^{ \alpha } (1 - x^{\frac{-1}{n}}) \leq x^{ \alpha } \ln(x) \leq n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1)}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) \,( \forall x \in ]0, 1] ) \ : \ n x^{ \alpha - \frac{1}{n}} (x^{\frac{1}{n}} - 1) \leq x^{ \alpha } \ln(x) \leq n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1) \tag{1}}}$يمكننا اختيار
$\displaystyle{\displaylines{ n }}$ من
$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{N}^{*} }}$ بحيث :
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha - \frac{1}{n} > 0 }}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\alpha - \frac{1}{n} > 0 \iff \frac{1}{ \alpha } < n}}$إذن من أجل :
$\displaystyle{\displaylines{ n = \left\lfloor \frac{1}{ \alpha } \right\rfloor + 1}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha - \frac{1}{n} > 0 }}$(بحيث
$\displaystyle{\displaylines{x \to \left\lfloor x \right\rfloor}}$ هي دالة الجزء الصحيح, راجع :
دالة الجزء الصحيح)
وبالتالي لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{ \alpha - \frac{1}{n}} = 0}}$من خلال العلاقة
$\displaystyle{\displaylines{(1)}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow 0^{+}} n x^{ \alpha } ( x^{\frac{1}{n}} - 1) = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} n x^{ \alpha - \frac{1}{n}} (x^{\frac{1}{n}} - 1) = 0}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} \forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \ln(x) = 0}}}$
لتكن :
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \in \mathbb{R}^{*}_{+} }}$لنبين أن
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0}}$نضع
$\displaystyle{\displaylines{t = \frac{1}{x} }}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(x)} {x^{\alpha}} = \lim_{t\rightarrow 0^{+}} - t^{\alpha} \ln(t) = 0}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{{\color{DarkRed} \forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}_+ \, : \, \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{ \ln(x)} {x^{\alpha}} = 0}}}$
