الرياضيات بالعربية

أحسب النهايات التالية

1) باستغلالك للنهاية $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

بين أن $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$

2) استنتج النهاية $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}} \cos(x) - 1}{x^2}$

3) قم بإخطاط (Linéarisation) الدالة $f(x) = \cos(x) \cos(2x) \cos(3x)$

4) استنتج النهاية $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x) \cos(2x) \cos(3x)}{x^2}$
لدينا العلاقة : $\forall x \in \mathbb{R} \quad \cos(2x) = \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x)$

$\begin{array}{rcl}\cos(x) & = & \cos^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right) - \sin^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right) \\ \\& = & 1-2 \sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right) \end{array}$


نعوض في النهاية :

$ \begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2} & = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{2 \sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} \\ \\& = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} 2 \left( \dfrac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \right)^2\end{array}$

بوضع $X = \frac{x}{2}$

لدينا $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin(\frac{x}{2})}{x} = \lim_{X \rightarrow 0} \dfrac{\sin(X)}{2 X} = \frac{1}{2}$

بما أن الدالة $x\rightarrow x^2$ متصلة في النقطة $x = \frac{1}{2}$, لدينا :

$\lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \right)^2 = \left( \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \right)^2 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{4}$

إذن $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2} = 2 \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$


لدينا :

$ \begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{x^{2}} \cos(x) - 1}{x^2} & = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{x^{2}} \cos(x) + e^{x^{2}} - e^{x^{2}}- 1}{x^2} \\& = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{e^{x^{2}} (\cos(x) - 1)}{x^2} + \dfrac{e^{x^{2}} - 1}{x^2} \right)\end{array}$

بوضع $X = x^2$ :

لدينا $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{x^{2}} - 1}{x^2} = \lim_{X \rightarrow 0^+} \dfrac{e^{X} - 1}{X} = 1$

ولدينا $\lim_{x \rightarrow 0} e^{x^2} = 1$ و $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} = - \frac{1}{2}$

إذن $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{x^{2}} \cos(x) - 1}{x^2} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$


لدينا صيغة Euler: $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

وبالتالي ومن أجل $n$ عدد صحيح طبيعي

$e^{inx} = (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)$


إذن : $\cos(nx) = \Re((\cos(x) + i \sin(x))^n)$

* من أجل $n=2$ لدينا :

$\begin{array}{rcl}\cos(2x) & = & \Re((\cos(x) + i \sin(x))^2) \\ \\& = & \Re(\cos(x)^2 - \sin(x)^2 + 2i \cos(x) \sin(x)) \\ \\& = & \cos(x)^2 - \sin(x)^2 \end{array}$


* من أجل $n=3$ لدينا :

$\begin{array}{rcl}\cos(3x) & = & \Re((\cos(x) + i \sin(x))^3) \\ \\ & = & \Re \big( \cos(x)^3 + 3 i \cos(x)^2 \sin(x) \\ \\ & ~ & - 3 \cos(x) \sin(x)^2 - i \sin(x)^3 \big) \\ \\ & = & \cos(x)^3 - 3 \cos(x) \sin(x)^2 \\ \\ & = & \cos(x) (\cos(x)^2 - 3 \sin(x)^2)\end{array}$


إذن :

$\begin{array}{rcl}f(x) & = & \cos(x) \cos(2x) \cos(3x) \\& = & \cos(x)^2 \times (\cos(x)^2 - \sin(x)^2) \\& ~ & \times (\cos(x)^2 - 3 \sin(x)^2)\end{array}$



بما ان $\cos(x)^2 = 1 - \sin(x)^2$

لدينا

$\begin{array}{rcl}\cos(x) \cos(2x) \cos(3x) & = & (1-\sin(x)^2) \times (1-2\sin(x)^2) \\& ~ & \times (1-4 \sin(x)^2)\end{array}$

بعد التبسيط :

$\cos(x) \cos(2x) \cos(3x) = 1 - 7 \sin(x)^2 + 14 \sin(x)^4 - 8 \sin(x)^6$


$\begin{array}{rcl}\dfrac{1 - \cos(x) \cos(2x) \cos(3x)}{x^2} & = & 7 \left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)^2 - 14 \dfrac{\sin(x)^4}{x^2} \\ \\& ~ & + 8 \dfrac{\sin(x)^6}{x^2}\end{array}$


لدينا $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^{2}(x)}{x^2} = \left( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} \right)^2 = 1$ (لأن الدالة $x \rightarrow x^2$ متصلة في $1$).

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)^4}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)^6}{x^2} = 0$

وبالتالي :

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x) \cos(2x) \cos(3x)}{x^2} = 7$