الرياضيات بالعربية

إثبات نهاية شهيرة

لتكن الدالة $f$ المعرفة بـ:

$f(x)=2\sqrt{x}-\ln(x)$
1) أدرس تغيرات الدالة $f$ واستنتج إشارتها.

2) بين أن:

$\forall x\geqslant 1: 0\leqslant \frac{\ln(x)}{x}\leqslant \frac{2}{\sqrt{x}}$
3) استنتج أن:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$
1) أولا: مجموعة التعريف

الدالة $\sqrt{x}$ معرفة على المجال $[0,+\infty[$ والدالة $\ln(x)$ معرفة على المجال $]0,+\infty[$، ومنه مجموعة تعريف الدالة $f$ هي $]0,+\infty[$.
ثانيا: الدالة المشتقة

$ \begin{align*}f'(x) & = 2(\sqrt{x})'-(\ln(x))' \\& = 2\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x} \\& = \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}-\frac{1}{x} \\& = \frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x}-1}{x}\end{align*} $

ثالثا: إشارة الدالة المشتقة

$ \begin{align*}f'(x)=0 & \iff\sqrt{x}-1=0 \\& \iff \sqrt{x}=1 \\& \iff x=1\end{align*} $
ومنه الدالة المشتقة تنعدم عند $x=1$
المقام موجب لأن $x>0$ ومنه إشارة $f'$ من إشارة البسط.

$ \begin{align*}f'(x)>0 & \iff\sqrt{x}-1>0 \\& \iff \sqrt{x}>1 \\& \iff x>1\end{align*} $

وأخيرا، جدول تغيرات الدالة $f$ هو


ومن جدول التغيرات نلاحظ أن الدالة $f$ موجبة على مجموعة تعريفها.

2) لدينا من جهة

$ x>1 \Rightarrow \ln(x)>0 \Rightarrow \frac{\ln(x))}{x}>0 $
ومن جهة أخرى، من جدول التغيرات

$ \begin{align*}\forall x>1:f(x)\geqslant 2>0 & \Rightarrow 2\sqrt{x}-\ln(x)>0 \\& \Rightarrow 2\sqrt{x}>\ln(x) \\& \Rightarrow \frac{2\sqrt{x}}{x}> \frac{\ln(x)}{x} \\& \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}}> \frac{\ln(x)}{x}\end{align*} $
ومنه:

$ \forall x>1:0<\frac{\ln(x)}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}} $

3) بإدخال النهاية على النتيجة الأخيرة نجد

$ \lim_{x\rightarrow +\infty} 0 \leqslant \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \leqslant \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2}{\sqrt{x}} $
$\begin{align*} & \Rightarrow 0 \leqslant \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \leqslant 0 \\& \Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \end{align*}$