الرياضيات بالعربية

حدد النهايات التالية

أحسب النهايات التالية :

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\exp(x)-1}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan(x)}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$
تذكير : يمكن حساب النهايات باستغلال تعريف الاشتقاق في نقطة.

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f^{'}(x_0)$

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \dfrac{\sin(x)}{x} &= & \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \dfrac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} \\ \\~ & = & \sin^{'}(0)\end{array}$

لدينا : $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{'}(x) = \cos(x) $ .
إذن $ \sin^{'}(0) = \cos(0) = 1$

$\color{DarkRed}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{\ln(x)}{x-1} & = & \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{\ln(x) - \ln(1)}{x-1} \\ \\~ & = & \ln^{'}(1)\end{array}$

لدينا : $\forall x \in ]0, + \infty[ \, : \, \ln^{'}(x) = \frac{1}{x} $ .
إذن $ \ln^{'}(1) = 1$

$\color{DarkRed}\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\exp(x)-1}{x} & = & \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\exp(x)-\exp(0)}{x - 0} \\ \\~ & = & \exp^{'}(0)\end{array}$

لدينا : $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \exp^{'}(x) = \exp(x) $ .
إذن $ \exp^{'}(0) = 1$

$\color{DarkRed}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\exp(x)-1}{x} = 1$

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\tan(x)}{x} & = & \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\tan(x) - \tan(0)}{x - 0} \\ \\~ & = & \tan^{'}(0)\end{array}$

لدينا : $\forall x \in \mathbb{R} - \{\frac{\pi}{2} + k \pi / \, k \in \mathbb{Z} \} \, : \, \tan^{'}(x) = \tan^{2} (x) + 1 $ .
إذن $ \tan^{'}(0) = 1$

$\color{DarkRed}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$

باستخدام سلسلة تايلور لدالة $\cos$ بجوار 0 لدينا :

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

إذن :

$\frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + o(x^2)$

إذن :

$\color{DarkRed}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$