الهدف من هذا التمرين هو البرهنة على $\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)} = + \infty }}$
نعتبر الدالة $\displaystyle{\displaylines{F(x) = \ln(\ln(x))}}$
حدد مجال تعريف الدالة $\displaystyle{\displaylines{D_F}}$ وبين أن $\displaystyle{\displaylines{F}}$ قابلة للإشتقاق عليه
وأحسب $\displaystyle{\displaylines{F^{'}(x)}}$ لكل $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{D_F}}$
بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall k \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\}) \ (\exists c \in ]0, 1[) \ : \ \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) = \frac{1}{(k+c) \, \ln(k+c)}}}$
بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\} \ : \ \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \frac{1}{k \, \ln(k)}}}$
ثم استنتج أن :
$\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)} = + \infty }}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{ F(x) = \ln(\ln(x)) }}$ .
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}x \in D_F & \iff & x \in ]0, + \infty[ \ \text{et} \ \ln(x) \in ]0, + \infty[ \\ \\~ & \iff & x \in ]0, + \infty[ \ \text{et} \ x \in ]1, + \infty[ \\ \\~ & \iff & x \in ]1, + \infty[\end{array}}}$$\displaystyle{\displaylines{D_F = ]1, + \infty[}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{F}}$ مركب تطبيقين قابلين للإشتقاق على
$\displaystyle{\displaylines{D_F}}$ إذن
$\displaystyle{\displaylines{F}}$ قابلة للإشتقاق على
$\displaystyle{\displaylines{D_F}}$ :
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]1, + \infty[ \, : \, F^{'}(x) = \frac{1}{x \, \ln(x)}}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{k \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\}}}$نعتبر الدالة
$\displaystyle{\displaylines{f(x) = \ln(\ln(k + x)) }}$ لاحظ أنها معرفة على
$\displaystyle{\displaylines{[0, + \infty[ }}$ حيث أن
$\displaystyle{\displaylines{ k \geq 2}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة على
$\displaystyle{\displaylines{[0, 1] }}$ .
لدينا
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على
$\displaystyle{\displaylines{ ]0, 1[ }}$.
$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in ]0, 1[ \, : \, f^{'}(x) = \frac{1}{(x+k) \, \ln(x+k)} }}$إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :
$\displaystyle{\displaylines{\exists c \in ]0, 1[ \, : \, \ln(\ln(k + 1)) - \ln(\ln(k)) = \frac{1}{(c+k) \, \ln(c+k)}}}$
كما بينا سابقا :
$\displaystyle{\displaylines{( \forall k \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\} ) \ (\exists c \in ]0, 1[ ) \ : \ \ln(\ln(k + 1)) - \ln(\ln(k)) = \frac{1}{(c+k) \, \ln(c+k)}}}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{ k < k + c }}$ و
$\displaystyle{\displaylines{ \ln(k) < \ln(c+k) }}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{ k \, \ln(k) < (c+k) \, \ln(c+k)}}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{ \frac{1}{(c+k) \, \ln(c+k)} < \frac{1}{k \, \ln(k)}}}$وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\} \ : \ \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \frac{1}{k \, \ln(k)}}}$
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall k \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\} \ : \ \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \frac{1}{k \, \ln(k)}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=2}^{n} \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)}}}$$\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=2}^{n} \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k))}}$ متسلسلة تلسكوبية - راجع
متسلسلات تلسكوبية $\displaystyle{\displaylines{\sum_{k=2}^{n} \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) = \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln(2))}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}^{*} \smallsetminus \{1\} \, : \, \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln(2)) < \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)}}}$لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{ \lim_{n \rightarrow + \infty} \ln(\ln(n+1)) = + \infty }}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)} = + \infty }}$
