الرياضيات بالعربية

بين أن المتسلسلة تتباعد (TAF)

الهدف من هذا التمرين هو البرهنة على $ \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)} = + \infty $

نعتبر الدالة $F(x) = \ln(\ln(x))$ .

حدد $D_F$ وبين أن $F$ قابلة للإشتقاق عليه .

وأحسب $F^{'}(x)$ لكل $x$ من $D_F$

ليكن $ k \in \mathbb{N}^{*} - \{1\} $

بين أن :

$\exists c \in ]0, 1[ \, : \, \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) = \frac{1}{(k+c) \, \ln(k+c)}$

بين أن :

$\forall k \in \mathbb{N}^{*} - \{1\} \, : \, \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \frac{1}{k \, \ln(k)}$

ثم استنتج أن :

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)} = + \infty $
لدينا $ F(x) = \ln(\ln(x)) $ .

$\begin{array}{rcl}x \in D_F & \Leftrightarrow & x \in ]0, + \infty[ \, et \, \ln(x) \in ]0, + \infty[ \\ \\~ & \Leftrightarrow & x \in ]0, + \infty[ \, et \, x \in ]1, + \infty[ \\ \\~ & \Leftrightarrow & x \in ]1, + \infty[\end{array}$

$D_F = ]1, + \infty[$

لدينا $F$ مركب تطبيقين قابلين للإشتقاق على $D_F$ إذن $F$ قابلة للإشتقاق على $D_F$ :

$\forall x \in ]1, + \infty[ \, : \, F^{'}(x) = \frac{1}{x \, \ln(x)}$


نعتبر الدالة $ f(x) = \ln(\ln(k + x)) $ .

لاحظأنها معرفة على $[0, + \infty[ $ حيث أن $ k \geq 2$ .

لدينا $f$ متصلة على $[0, 1] $ .

لدينا $f$ قابلة للإشتقاق على $ ]0, 1[ $ . و $\forall x \in ]0, 1[ \, : \, f^{'}(x) = \frac{1}{(x+k) \, \ln(x+k)} $

إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$\exists c \in ]0, 1[ \, : \, \ln(\ln(k + 1)) - \ln(\ln(k)) = \frac{1}{(c+k) \, \ln(c+k)}$


كما بينا سابقا :

$( \forall k \in \mathbb{N}^{*} - \{1\} ) \, (\exists c \in ]0, 1[ )\, : $

$ \ln(\ln(k + 1)) - \ln(\ln(k)) = \frac{1}{(c+k) \, \ln(c+k)}$

لدينا : $ k < k + c $ و $ \ln(k) < \ln(c+k) $

إذن :

$ k \, \ln(k) < (c+k) \, \ln(c+k)$إذن :

$ \frac{1}{(c+k) \, \ln(c+k)} < \frac{1}{k \, \ln(k)}$

وبالتـــالي :

$\forall k \in \mathbb{N}^{*} - \{1\} \, : \, \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \frac{1}{k \, \ln(k)}$


لديــــنا :

$\ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \frac{1}{k \, \ln(k)}$

إذن :

$\sum_{k=2}^{n} \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) < \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)}$

$\sum_{k=2}^{n} \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k))$ سلسلة تلسكوبية - راجع متسلسلات تلسكوبية

$\sum_{k=2}^{n} \ln(\ln(k+1)) - \ln(\ln(k)) = \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln(2))$

إذن :

$\forall n \in \mathbb{N}^{*} - \{1\} \, : \, \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln(2)) < \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)}$

لديـــــنا :

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \ln(\ln(n+1)) = + \infty $

إذن :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \, \ln(k)} = + \infty $