الرياضيات بالعربية

بين أن اشتقاق دالة sin هو cos

بين أن :

$\begin{array}{rcl} \forall x \in \mathbb{R} \, & : & \, \sin^{'}(x) = \cos(x) \\~ & : & \cos^{'}(x) = - \sin(x) \end{array}$

إذا كانت $f$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $I$ لدينا :

$\forall x \in I \quad f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

باعتبار دالة $\sin$ قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ لدينا :

$\sin^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$

و لدينا :

$\sin(x + h) = \sin(x) \cos(h) + \sin(h) \cos(x)$

وبالتالي لدينا :

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) (\cos(h)-1) + \sin(h) \cos(x)}{h}$

إذن

$\sin^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{ \cos(h) - 1}{h} \sin(x) + \frac{\sin(h)}{h} \cos(x) \right)$

نعلم الخاصية التالية

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$

و لدينا

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos(h) - 1}{h} & = & \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(0 + h) - \cos(0)}{h} \\ \\~ & = & \cos^{'}(0)\end{array}$

إذن :

$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{'} (x) = \cos(x) + \cos^{'}(0) \sin(x) \,\,\, (1)$

مع $ \cos^{'}(0)$ ثابتة يجب تحديدها .

نعلم أن :

$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$

نقوم بالاشتقاق :

$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin{'}(x) \sin(x) + \cos^{'}(x) \cos(x) = 0 \,\,\ (2) $

من أجل $ x = 0 $ لدينا :

$\cos{'}(0) = 0$

نعوض في $(1)$ لدينا :

$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \sin^{'} (x) = \cos(x)$

باتباع نفس الخطوات يمكننا أن نبين أن :

$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \cos^{'} (x) = - \sin^{'}(0) \sin(x)$

لاحظ أن $\sin^{'}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$

إذن : $\forall x \in \mathbb{R}$

$\left\{\begin{matrix}\sin{'}(x)=\cos(x) & \\ \cos{'}(x)=-\sin(x) & \end{matrix}\right.$