الرياضيات بالعربية

باستعمال TAF بين المتراجحتان

باستعمال مبرهنة التزايدات المنتهية بين المتراجحتان التاليتان :

$\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, |\sin(x) - \sin(y)| \leq |x-y|$

$\forall x > 1 \, : \, 1 - \frac{1}{x} < \ln(x) < x-1$

استنتج أن :

$\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+} \, : \, 1 - \frac{1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1$
لدينا دالة $\sin$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ .

ليكن $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ يمكننا تطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على $]x, y[$ أو $]y, x[$ حسب الأكبر $x$ أو $y$.

لكن لاحظ أنه يمكننا وضع القيمة المطلقة وتلافي مشكل المجال حيث أن : $ |f(x) - f(y)| = |f(y) - f(x)| $ .

لدينا إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية : $ \exists c \in \mathbb{R} \, : \, |\sin(x) - \sin(y) | = |\sin^{'}(c)| \, |x-y| $ .

لدينا : $|\sin^{'}(c)| = |\cos(c)| \leq 1$

وبالتـــــالي :

$|\sin(x) - \sin(y) | = |\sin^{'}(c)| \, |x-y| \leq |x-y|$

إذن :

$\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, |\sin(x) - \sin(y)| \leq |x-y|$


ليكن $x > 1$

لدينا $\ln$ متصلة وقابلة للإشتقاق على $]0, + \infty[$ :

$\forall x \in ]0, + \infty[ \, : \, \ln^{'}(x) = \frac{1}{x}$

نطبق مبرهنة التزايدات المنتهية على المجال $[1, x] $ :

$\exists c \in ]1, x[ \, : \ln(x) - \ln(1) = \frac{x-1}{c}$

أي أنه :

$ \exists c \in ]1, x[ \, : \ln(x) = \frac{x-1}{c} $

بما أن : $1 < \, c < \, x $ فإن :

$1 - \frac{1}{x} < \, \frac{x-1}{c} < \, x - 1$

وبالتالي :

$1 - \frac{1}{x} < \ln(x) < \, x - 1$

إذن :

$\forall x > 1 \, : \, 1 - \frac{1}{x} < \ln(x) < x-1$


لدينا العلاقة صحيحة : $ \forall x > 1$

لنبين أن العلاقة صحيحة أيضا من أجل $x \in ]0, 1]$ .

ليكن $x \in ]0, 1[$ :

نضع $t = \frac{1}{x} $ لدينا $ t > 1$ , وبالتالـــي :

$1 - \frac{1}{t} < \ln(t) < t-1$

إذن :

$1 - x < \ln(\frac{1}{x}) < \frac{1}{x} -1$

$1 - x <- \ln(x) < \frac{1}{x} -1$

ونقوم بضرب المتساويتان ب $-1$ .

$ 1 - \frac{1}{x} <\, \ln(x) < \, x - 1 $

وحالة تساوي التساوي تكون في $x \, = 1$ .

وبالتالي :

$\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+} \, : \, 1 - \frac{1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1$