الرياضيات بالعربية

قارن العددين التاليين

الهدف من هذا التمرين هو مقارنة العددين $e^{\pi}$ و $ \pi^e$ .

نعتبر الدالة العددية المعرفة على $]0, + \infty [ $ كما يلي :

$f(x) = \frac{e^x}{x^e} $

أدرس تغييرات الدالة $f$ ثم استنتج مقارنة العددين $e^{\pi}$ و $ \pi^e$ .
$f(x) = \frac{e^x}{x^e} = e^x \, x^{-e}$

لدينا $f$ قابلة للإشتقاق على $]0, + \infty [ $, ولدينا :

$\forall x \in ]0, + \infty [ \, : \, f^{'}(x) = e^x \, x^{-e} + e^{x} \, (-e) \, x^{-e - 1}$

وبالتـــــالي :

$\forall x \in ]0, + \infty [ \, : \, f^{'}(x) = e^{x} \, x^{-e - 1} \, (x - e)$

لدينا $\forall x \in ]0, + \infty [ \, : \, e^{x} \, x^{-e - 1} > 0 $

إذن : $\forall x \in ]e, + \infty [ \, : \, f^{'}(x) > 0$

$f$ تزايدية قطعا على المجال $ ]e, + \infty [ $ .

لدينا $ \pi \simeq 3.14... > e = 2.71 $ و أيضا

$ f(e) = \frac{e^e}{e^e} = 1$

إذن: $ f( \pi) = \frac{e^{\pi}}{\pi^e} > f(e) = 1$

إذن :

$ \pi^e < e^{\pi}$

تطبيق عددي :

$\pi^e = 22.4591...$
$e^{\pi} = 23,1406...$