نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة k-Lipschitzienne على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كان :
$\displaystyle{\displaylines{( \exists k \in \mathbb{R}^{*}_{+}) \, (\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$
لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .
بين أن :
$\displaystyle{\displaylines{ \iff (\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k }}$ k-Lipschitzienne $\displaystyle{\displaylines{f}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{ k \in \mathbb{R}^{*}_{+}}}$
نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k }}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x, y) \in I^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x > y }}$
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة على $\displaystyle{\displaylines{[y, x] }}$
لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{ ]y, x[ }}$
إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :
$\displaystyle{\displaylines{\exists c \in ]a, b[ \subset I \, : \, |f(x) - f(y)| = |f^{'}(c)| \, |x-y| }}$
بما أن $\displaystyle{\displaylines{|f^{'}(c)| \leq k}}$ فإن :
إذن : $\displaystyle{\displaylines{|f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{\forall (x, y) \in I^2 : |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$
ومنه فإن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ k-Lipschitzienne .
نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ k-Lipschitzienne
لدينا إذن :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x,y)\in I^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x \neq y}}$, لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \leq k}}$
نقوم بحساب النهاية عندما تؤوول $\displaystyle{\displaylines{y \rightarrow x}}$
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{y\rightarrow x} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \leq k}}$
إذن :
$\displaystyle{\displaylines{|f^{'}(x)| \leq k}}$
وبالتالي :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k}}$