الرياضيات بالعربية

الدوال الليبشيتزية

نقول أن $f$ دالة k-Lipschitzienne على مجال $I$ إذا وفقط إذا كان :

$( \exists k \in \mathbb{R}^{*}_{+}) \, (\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|$

لتكن $f$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $I$ .

بين أن :

$ \Leftrightarrow (\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k $ k-Lipschitzienne $f$
ليكن $ k \in \mathbb{R}^{*}_{+}$

نفترض أن $(\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k $

ليكن $(x, y) \in I^2$ بحيث $x \neq y $

نضع $ a = Min(x, y) $ و $ b = Max(x, y) $

لدينا : $f$ متصلة على $[a, b] $

لدينا : $f$ قابلة للإشتقاق على $ ]a, b[ $

إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$\exists c \in ]a, b[ \subset I \, : \, |f(x) - f(y)| = |f^{'}(c)| \, |x-y| $

( لاحظ أن $|f(b) - f(a)| = |f(x) - f(y)| $ و $|b-a| = |x-y| $ )

بما أن $|f^{'}(c)| \leq k$ فإن :

$(\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|$

ومنه فإن $f$ k-Lipschitzienne .


نفترض أن $f$ k-Lipschitzienne

لدينا إذن :

$(\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|$

ليكن $x \neq y$ لدينا :

$(\forall (x, y) \in I^2) \, : \, \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \leq k$

نقوم بحساب النهاية عندما تؤوول $y \rightarrow x$

$\lim_{y\rightarrow x} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \leq k$

إذن :

$|f^{'}(x)| \leq k$

وبالتالي :

$(\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k$