Lagrida

الدوال الليبشيتزية

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة k-Lipschitzienne على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كان :

$\displaystyle{\displaylines{( \exists k \in \mathbb{R}^{*}_{+}) \, (\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .

بين أن :

$\displaystyle{\displaylines{ \iff (\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k }}$ k-Lipschitzienne $\displaystyle{\displaylines{f}}$
ليكن $\displaystyle{\displaylines{ k \in \mathbb{R}^{*}_{+}}}$

نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k }}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x, y) \in I^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x > y }}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة على $\displaystyle{\displaylines{[y, x] }}$

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{ ]y, x[ }}$

إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$\displaystyle{\displaylines{\exists c \in ]a, b[ \subset I \, : \, |f(x) - f(y)| = |f^{'}(c)| \, |x-y| }}$

بما أن $\displaystyle{\displaylines{|f^{'}(c)| \leq k}}$ فإن :

إذن : $\displaystyle{\displaylines{|f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{\forall (x, y) \in I^2 : |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$

ومنه فإن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ k-Lipschitzienne .


نفترض أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ k-Lipschitzienne

لدينا إذن :

$\displaystyle{\displaylines{(\forall (x, y) \in I^2) \, : \, |f(x) - f(y)| \leq k \, |x-y|}}$

ليكن $\displaystyle{\displaylines{(x,y)\in I^2}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{x \neq y}}$, لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \leq k}}$

نقوم بحساب النهاية عندما تؤوول $\displaystyle{\displaylines{y \rightarrow x}}$

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{y\rightarrow x} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \leq k}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{|f^{'}(x)| \leq k}}$

وبالتالي :

$\displaystyle{\displaylines{(\forall x \in I) \, : \, |f^{'}(x)| \leq k}}$
التعليقات :
إضافة تعليق