لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة عددية بحيث
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l}}$
بين أن النهاية وحيدة
البرهان بالخُلف Démonstration par Absurde :
نفترض انه يوجد $\displaystyle{\displaylines{l_1}}$ و $\displaystyle{\displaylines{l_2}}$ بحيث :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l_1 \,\, , \,\, \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l_2}}$ و $\displaystyle{\displaylines{l_1 \ne l_2}}$
حسب تعريف النهاية :
$\displaystyle{\displaylines{(\forall \epsilon > 0) \ (\exists \alpha > 0) \ |x-\alpha|<0 \implies |f(x)-l_1| < \frac{\epsilon}{2}}}$
$\displaystyle{\displaylines{(\forall \epsilon > 0) \ (\exists \alpha_2 > 0) \ |x-\alpha_2|<0 \implies |f(x)-l_2| < \frac{\epsilon}{2}}}$
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}|l_2 - l_1| & = & |(f(x) - l_1) + (l_2 - f(x))| \\ & \le & |f(x) - l_1| + |f(x) - l_2| \\ & < & \displaystyle \frac{\epsilon}{2}+ \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\end{array}}}$
من اجل : $\displaystyle{\displaylines{\epsilon = \frac{|l_2 - l_1|}{2}}}$ لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{ |l_2 - l_1| < \frac{|l_2 - l_1|}{2}}}$
أي أن :
$\displaystyle{\displaylines{1 <\frac{1}{2}}}$
تناقض Absurde !!
إذن افتراض $\displaystyle{\displaylines{l_1 \neq l_2}}$ خاطئ. نتيجة: النهاية تكون وحيدة إذا وُجدت
