الرياضيات بالعربية

بين أن النهاية وحيدة

لتكن $f$ دالة عددية بحيث $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l$ .

بين أن النهاية وحيدة
البرهان بالخُلف Démonstration par Absurde :

نفترض انه يوجد $l_1$ و $l_2$ بحيث :

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l_1 \,\, , \,\, \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=l_2$ . و $l_1 \ne l_2$

لدينا :

$\forall \epsilon > 0 \,\, \exists \alpha > 0 \,\, |x-\alpha|<0 \Rightarrow |f(x)-l_1| < \frac{\epsilon}{2}$ .
$\forall \epsilon > 0 \,\, \exists \alpha_2 > 0 \,\, |x-\alpha_2|<0 \Rightarrow |f(x)-l_2| < \frac{\epsilon}{2}$ .

لدينا :

$\begin{array}{rcl}|l_2 - l_1| & = & |(f(x) - l_1) + (l_2 - f(x))| \\~ & \le & |f(x) - l_1| + |f(x) - l_2| < \frac{\epsilon}{2}+ \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\end{array}$

من اجل : $\epsilon = \frac{|l_2 - l_1|}{2}$.

لدينا :

$ |l_2 - l_1| < \frac{|l_2 - l_1|}{2}$

اي ان :

$1 <\frac{1}{2}$ .

تناقض Absurde !! : الافتراض خاطئ, إذن النهاية تكون وحيدة إذا وُجدت .