الرياضيات بالعربية

تمرين في الاتصال

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $[a, b]$ بحيث :

$\lim_{x \rightarrow a^{+} } \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = l \in \mathbb{R}$

1 - بين أن : $(\exists k \geq 0) \, (\forall x \in [a, b]) \, : \, |f(x) - f(a)| \leq k |x-a|$

2 - تطبيق : نضع $ \forall x \in [0, 1] \, : \, f(x) = \arctan(x)$ .

بين أنه : $(\exists k > 0) \, (\forall x \in [0, 1]) \, : \, \arctan(x) \leq k x$

ثم استنتج أن : $ 1 \leq k $ .

3 - نضع : $\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, f(x) = \tan(x)$ ونفترض أن :

$\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, ; \, f(x) \neq x^3 + x$

بين أن $ \forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \,$

$\tan(x) < x^3 + x$ و $x < \tan(x)$ .

إستنتج أن :

$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\arctan(x) - x}{x^2} = 0$
تذكيـــــــر :إذا كانت $f$ دالة متصلة على $[a, b]$ فإنه :

$(\exists k \geq 0) \, (\forall x \in [a, b]) \, : \, |f(x)| \leq k$


1

إذا وضعنا :

$g(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \, , x \in ]a, b] \\ \\l \, , x = a\end{matrix}\right.$

لدينا $g$ دالة متصلة على $[a, b]$ لأن $ \lim_{x \rightarrow a^{+} } g(x) = l$ .

و بالتالـــــي :

$(\exists k \geq 0) \, (\forall x \in [a, b]) \, : \, |g(x)| \leq k$

إذن :

$\color{DarkRed}(\exists k \geq 0) \, (\forall x \in [a, b]) \, : \, |f(x) - f(a)| \leq k |x-a|$


2

يكفي التطبيق على السؤال 1 , لدينا :

الدالة $\arctan$ متصلة على $[0, 1] $ و أيضا :

$\lim_{x \rightarrow 0^{+} } \frac{\arctan(x)}{x} = \arctan^{'}(0) = 1 \in \mathbb{R}$

لاحظ أن( $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \arctan^{'}(x) = \frac{1}{x^2 + 1} $ )

إذن :

$\color{DarkRed}(\exists k > 0) \, (\forall x \in [0, 1]) \, : \, \arctan(x) \leq k x$


بما أن : $(\exists k > 0) \, (\forall x \in [0, 1]) \, : \, \arctan(x) \leq k x$

فإن : $ \forall x \in ]0, 1] \, : \, \frac{\arctan(x)}{x} \leq k $ .

إذن :

$\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\arctan(x)}{x} \leq k$

إذن

$\color{DarkRed}1 \leq k$


3

لنبين أن : $ \forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, \tan(x) < x^3 + x $

نضع $h(x) = x^3 + x - \tan(x)$ .

لدينا $h$ متصلة على $]0, \frac{\pi}{4}[$

لدينا : $ \forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, h(x) \neq 0$

إذن فالدالة $h$ تحافظ على إشارة تابثة في المجال $ ]0, \frac{\pi}{4}[ $ .

(لأنه إذا وجد $\alpha$ و $\beta$ من $ ]0, \frac{\pi}{4}[ $ بحيث $h(\alpha)$ و $h(\beta)$ لهما إشارتان مختلفتان فإنه حسبمبرهنة القيم الوسطية : $\exists c \in [\alpha, \beta] \subset ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, h(c) = 0 $.تناقض !!)

لدينا $\frac{\pi}{6} \in ]0, \frac{\pi}{4}[ $ و $h(\frac{\pi}{6}) > 0$. إذن :

$ \forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, 0 < h(x)$

إذن :

$\color{DarkRed} \forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, \tan(x) < x^3 + x$


لنبين أن : $\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, x < \tan(x)$ .

نضع $\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, f(x) = \tan(x) - x$.

لدينا $f $ قابلة للإشتقاق على $]0, \frac{\pi}{4}[$ و لدينا :

$\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, f^{'}(x) = \tan^{2}(x) > 0$

لدينا $f$ تزايدية قطعا على $ ]0, \frac{\pi}{4}[ $ و متصلة على $ [0, \frac{\pi}{4}[ $

وبالـــتالي :

$\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, h(0)=0 < h(x)$

إذن :

$\color{DarkRed}\forall x \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, x < \tan(x)$


لنحدد النهاية التالية :

$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\arctan(x) - x}{x^2}$

سوف نقوم بحساب النهاية في وقت أول على يمين $0$ .

ثم نستنتج النهاية على يسار الصفر باعتبار الدالة : $x \rightarrow \frac{\arctan(x) - x}{x^2}$ فردية .

نضع $x = \tan(a)$.

لدينا $ x \rightarrow 0^+ \Leftrightarrow a \rightarrow 0^+ $ .

لدينا :

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+ } \dfrac{\arctan(x) - x}{x^2} & = & \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0^+ } \dfrac{a - \tan(a)}{\tan^2(a)} \\ \\ \\~ & = & \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0^+ } \dfrac{a - \tan(a)}{a^2 \dfrac{\tan^2(a)}{a^2}}\end{array}$

لدينا حسبما سبق :

$\forall a \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, a < \tan(a) < a^3 + a$

إذن :

$\forall a \in ]0, \frac{\pi}{4}[ \, : \, -a < \frac{a - \tan(a)}{a^2} < 0$

بما أن : $\lim_{a \rightarrow 0^+ } 0 = \lim_{a \rightarrow 0^+ } (-a) = 0$ .

فإن $ \lim_{a \rightarrow 0^+ } \frac{a - \tan(a)}{a^2} = 0$ .

ومعلوم أن : $ \lim_{a \rightarrow 0^+ } \frac{\tan^2(a)}{a^2} = 1$ .

وبالــــتالي :

$\lim_{a \rightarrow 0^+ } \frac{a - \tan(a)}{\tan^2(a)} = 0$

إذن

$\lim_{x \rightarrow 0^+ } \frac{\arctan(x) - x}{x^2} = 0$

بوضع $ x = -t$ نبين أن :

$\lim_{x \rightarrow 0^- } \frac{\arctan(x) - x}{x^2} = 0$

إذن :

$\color{DarkRed}\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\arctan(x) - x}{x^2} = 0$

مثال على تطبيق
رسم الدالة $x \rightarrow \frac{\arctan(x) - x}{x^2}$ وكيف أنها تؤول إلى الصفر عندما يؤول x إلى الصفر .