بين العلاقات التالية :
$\displaystyle{\displaylines{( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, \ln(x^{ \alpha }) = \alpha \ln(x)}}$
$\displaystyle{\displaylines{( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, (x^{ \alpha})^{'} = \alpha x ^{ \alpha - 1}}}$
$\displaystyle{\displaylines{( \forall a \in ]0, + \infty [) \, ( \forall x \in \mathbb{R}) \, : \, (a^{x})^{'} = \ln(a) a ^{x}}}$
يرجى مراجعة :
أوجد النهايات بتغيير المتغير
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{ x \in ]0, + \infty [}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \in \mathbb{R} }}$:
من السهل المبرهنة على الخاصية الأولى إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \in \mathbb{N} }}$إذ يكفي ملاحظة أن
$\displaystyle{\displaylines{ \ln(x^2) = \ln(x \times x) = \ln(x) + \ln(x) = 2\ln(x) }}$ و المبرهنة على الخاصية بالترجع, الآن سوف نبرهن على الخاصية بصفة عامة و من أجل
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \in \mathbb{R} }}$ .
من السهل المبرهنة على الخاصية إذا كان
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha = 0 }}$ .
نفترض أن
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \neq 0}}$ , لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\ln(x^{ \alpha }) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{\alpha h} - 1}{h}}}$نضع
$\displaystyle{\displaylines{ \epsilon = \alpha h }}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}\ln(x^{ \alpha }) & = & \displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \alpha \frac{x^{\epsilon} - 1}{\epsilon} \\ \\~ & = & \alpha \ln(x)\end{array}}}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\color{DarkRed}( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, \ln(x^{ \alpha }) = \alpha \ln(x)}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{ x \in ]0, + \infty [}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \in \mathbb{R} }}$ :
$\displaystyle{\displaylines{\ln(x^{ \alpha }) = \alpha \ln(x)}}$نقوم بالاشتقاق على
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ .
$\displaystyle{\displaylines{\frac{(x^{ \alpha})^{'}}{x^{ \alpha } } = \frac{ \alpha}{x}}}$ إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\color{DarkRed}( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, (x^{ \alpha})^{'} = \alpha x ^{ \alpha - 1}}}$
ليكن
$\displaystyle{\displaylines{ a \in ]0, + \infty [}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{ x \in \mathbb{R} }}$ :
الطريقة الأولى :$\displaystyle{\displaylines{\begin{array}{rcl}(a^{x})^{'} & = & \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h} \\ \\~ & = & \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} a^{x} \frac{a^{h} -1}{h} \\ \\~ & = & \ln(a) a^{x}\end{array}}}$الطريقة الثانية :$\displaystyle{\displaylines{a^{x} = e^{x \ln(a)}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{(a^{x})^{'} = \ln(a) e^{x \ln(a)} = \ln(a) a^{x}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\color{DarkRed}( \forall a \in ]0, + \infty [) \, ( \forall x \in \mathbb{R}) \, : \, (a^{x})^{'} = \ln(a) a ^{x}}}$