الرياضيات بالعربية

بين الإشتقاقات التالية

$( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, \ln(x^{ \alpha }) = \alpha \ln(x)$

$( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, (x^{ \alpha})^{'} = \alpha x ^{ \alpha - 1}$

$( \forall a \in ]0, + \infty [) \, ( \forall x \in \mathbb{R}) \, : \, (a^{x})^{'} = \ln(a) a ^{x}$

يرجى مراجعة : أوجد النهايات بتغيير المتغير


ليكن $ x \in ]0, + \infty [$ و $ \alpha \in \mathbb{R} $:

من السهل المبرهنة على الخاصية الأولى إذا كان $ \alpha \in \mathbb{N} $ .

إذ يكفي ملاحظة أن $ \ln(x^2) = \ln(x \times x) = \ln(x) + \ln(x) = 2\ln(x) $ .

و المبرهنة على الخاصية بالترجع .

الآن سوف نبرهن على الخاصية بصفة عامة و من أجل $ \alpha \in \mathbb{R} $ .

من السهل المبرهنة على الخاصية إذا كان $ \alpha = 0 $ .

نفترض أن $ \alpha \neq 0$ .

$\ln(x^{ \alpha }) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{\alpha h} - 1}{h}$

نضع $ \epsilon = \alpha h $ .

إذن :

$\begin{array}{rcl}\ln(x^{ \alpha }) & = & \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \alpha \frac{x^{\epsilon} - 1}{\epsilon} \\ \\~ & = & \alpha \ln(x)\end{array}$

إذن :

$\color{DarkRed}( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, \ln(x^{ \alpha }) = \alpha \ln(x)$


ليكن $ x \in ]0, + \infty [$ و $ \alpha \in \mathbb{R} $ :

$\ln(x^{ \alpha }) = \alpha \ln(x)$

نقوم بالاشتقاق على $x$ .

$\frac{(x^{ \alpha})^{'}}{x^{ \alpha } } = \frac{ \alpha}{x}$

إذن :

$\color{DarkRed}( \forall x \in ]0, + \infty [) \, ( \forall \alpha \in \mathbb{R}) \, : \, (x^{ \alpha})^{'} = \alpha x ^{ \alpha - 1}$


ليكن $ a \in ]0, + \infty [$ و $ x \in \mathbb{R} $ :

الطريقة الأولى :

$\begin{array}{rcl}(a^{x})^{'} & = & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h} \\ \\~ & = & \lim_{h \rightarrow 0} a^{x} \frac{a^{h} -1}{h} \\ \\~ & = & \ln(a) a^{x}\end{array}$

الطريقة الثانية :

$a^{x} = e^{x \ln(a)}$

إذن :

$(a^{x})^{'} = \ln(a) e^{x \ln(a)} = \ln(a) a^{x}$

إذن :

$\color{DarkRed}( \forall a \in ]0, + \infty [) \, ( \forall x \in \mathbb{R}) \, : \, (a^{x})^{'} = \ln(a) a ^{x}$