الرياضيات بالعربية

بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞+

site lagrida الرياضيات بالعربية التحليل الحقيقي L'Analyse réelle بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞+
بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞ + .
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :

لتكن $f$ دالة دورية دورها T متصلة و غير تابثة.

$f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x)\end{array}$

لاحظ أنه يمكننا أن نبين بسهولة بالترجع أن :

$ (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{N}) \, : \, f(x + n T) = f(x)$

نفترض أن :

$\lim_{a \rightarrow + \infty} f(a) = l \in \mathbb{R}$

نضع : $ a = x + n T $ . بحيث $ x \in [0, T] $.

لاحظ أن $ x $ غير مرتبط ب $ n $ .

لدينا :

$a \rightarrow + \infty \Leftrightarrow n \rightarrow + \infty$

إذن :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} f(x + n T) = l$

أي أن :

$\lim_{n \rightarrow + \infty} f(x) = l = f(x)$

بما أن $f$ دالة غير تابثة فإنه :

$\exists (x_1, x_2) \in [0, T]^2 \, : \, f(x_1) \neq f(x_2)$

إذن :

$\left\{\begin{matrix}\lim_{a \rightarrow + \infty} f(a) = f(x_1) \\ \\\lim_{a \rightarrow + \infty} f(a) = f(x_2)\end{matrix}\right. $

و $ f(x_1) \neq f(x_2) $ .

تناقض !! : النهاية إذا وجدت تكون وحيدة .

إذن الإفتراض خاطئ, و الدوال الدورية المتصلة و غير التابثة لا تقبل نهاية في +∞ .


مثـــــــــــــال :

الدوال : $ \sin $ و $ \cos $ لا تملك نهاية في ∞+ .