البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :لتكن
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة دورية دورها
$\displaystyle{\displaylines{T}}$ متصلة و غير تابثة ومعرفة على
$\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.
$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x)\end{array}}}$لاحظ أنه يمكننا أن نبين بسهولة بالترجع أن :
$\displaystyle{\displaylines{ (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{N}) \, : \, f(x + n T) = f(x)}}$ نفترض بالخلف أن :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{t \rightarrow + \infty} f(t) = l \in \mathbb{R}}}$نضع :
$\displaystyle{\displaylines{a_n(x) = x + n T }}$ . بحيث
$\displaystyle{\displaylines{x \in [0, T] }}$.
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{n \to +\infty \iff a_n(x) \to +\infty}}$حسب الإفتراض لدينا
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} f(a_n(x)) = l \in \mathbb{R}}}$إذن :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} f(x + n T) = l}}$لدينا
$\displaystyle{\displaylines{x}}$ غير مرتبط بـ
$\displaystyle{\displaylines{n}}$.
أي أن :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} f(x + n T) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f(x) = l = f(x)}}$وبما أن
$\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة غير تابثة فإنه :
$\displaystyle{\displaylines{\exists (x_1, x_2) \in [0, T]^2 \ : \ f(x_1) \neq f(x_2)}}$نعلم أن النهاية تكون وحيدة إذا وُجدت (راجع :
بين أن النهاية وحيدة إن وُجدت)
لدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\lim_{t \rightarrow + \infty} f(t) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f(a_n(x_1)) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f(a_n(x_2)) = l}}$ولدينا :
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}, \quad f(a_n(x_1))=f(x_1)}}$ و
$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}, \quad f(a_n(x_2))=f(x_2)}}$و
$\displaystyle{\displaylines{ f(x_1) \neq f(x_2) }}$ .
تناقض !! : النهاية إذا وجدت تكون وحيدة .
إذن الإفتراض خاطئ, و الدوال الدورية المتصلة و غير التابثة لا تقبل نهاية في +∞
مثال:
الدوال :
$\displaystyle{\displaylines{ \sin }}$ و
$\displaystyle{\displaylines{ \cos }}$ لا تملك نهاية في ∞+