Lagrida
Accueil Math en arabe
بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞+

بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞+

بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞ +
البرهان بالخلف Demonstration par Absurde :

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة دورية دورها $\displaystyle{\displaylines{T}}$ متصلة و غير تابثة ومعرفة على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.

$\displaystyle{\displaylines{f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & f(x)\end{array}}}$

لاحظ أنه يمكننا أن نبين بسهولة بالترجع أن :

$\displaystyle{\displaylines{ (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall n \in \mathbb{N}) \, : \, f(x + n T) = f(x)}}$

نفترض بالخلف أن : $\displaystyle{\displaylines{\lim_{t \rightarrow + \infty} f(t) = l \in \mathbb{R}}}$

نضع : $\displaystyle{\displaylines{a_n(x) = x + n T }}$ . بحيث $\displaystyle{\displaylines{x \in [0, T] }}$.

لدينا : $\displaystyle{\displaylines{n \to +\infty \iff a_n(x) \to +\infty}}$

حسب الإفتراض لدينا $\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} f(a_n(x)) = l \in \mathbb{R}}}$

إذن :

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} f(x + n T) = l}}$

لدينا $\displaystyle{\displaylines{x}}$ غير مرتبط بـ $\displaystyle{\displaylines{n}}$.

أي أن :

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{n \rightarrow + \infty} f(x + n T) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f(x) = l = f(x)}}$

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة غير تابثة فإنه :

$\displaystyle{\displaylines{\exists (x_1, x_2) \in [0, T]^2 \ : \ f(x_1) \neq f(x_2)}}$

نعلم أن النهاية تكون وحيدة إذا وُجدت (راجع : بين أن النهاية وحيدة إن وُجدت)

لدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\lim_{t \rightarrow + \infty} f(t) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f(a_n(x_1)) = \lim_{n \rightarrow + \infty} f(a_n(x_2)) = l}}$

ولدينا :

$\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}, \quad f(a_n(x_1))=f(x_1)}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N}, \quad f(a_n(x_2))=f(x_2)}}$

و $\displaystyle{\displaylines{ f(x_1) \neq f(x_2) }}$ .

تناقض !! : النهاية إذا وجدت تكون وحيدة .

إذن الإفتراض خاطئ, و الدوال الدورية المتصلة و غير التابثة لا تقبل نهاية في +∞

مثال:

الدوال : $\displaystyle{\displaylines{ \sin }}$ و $\displaystyle{\displaylines{ \cos }}$ لا تملك نهاية في ∞+
Accueil Math en arabe
بين أن دالة دورية متصلة وغير ثابتة لا تقبل نهاية في ∞+
التعليقات :
إضافة تعليق