الرياضيات بالعربية

حدد النهايتان التاليتان

لتكن $a_{1},\, a_{2},\, .... a_{n}$ أعداد حقيقية موجبة قطعاً .

حدد النهايتان التاليتان :

$(1)\,\, \lim_{p\rightarrow +\infty} (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}}$

$(2)\,\, \lim_{p\rightarrow +\infty} (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{-p})^{\frac{1}{p}}$
لدينا : $\forall k \in \{1, 2, ..., n\}\,:\, a_{k} \le \max_{1\le k \le n} a_{k}$.

ليكن : $m = \max_{1\le k \le n} a_{k} = a_{i} \, , \, i \in $.

لدينا : $\forall k \in \{1, 2, ..., n\}\,:\, a_{k}^{p} \le m^{p}$.

إذن : $\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p} \le n m^{p}$.

إذن : $(1) \,\, (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}} \le n^{\frac{1}{p}} m$ .

و من جهة أخرى : $\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p} = m^{p} + \sum_{k=1, k \neq i}^{n}a_{k}^{p}$ .

إذن : $m^{p} \le \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}$.

و بالتالي : $(2) \,\,m \le (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}}$ .

من $(1)$ و $(2)$ لدينا : $m \le (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}} \le n^{\frac{1}{p}} m$.

بما أن : $ \lim_{p\rightarrow +\infty} n^{\frac{1}{p}} m = \lim_{p\rightarrow +\infty} m = \max_{1\le k \le n} a_{k} = a_{i}$ .

فإن $ \lim_{p\rightarrow +\infty} (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}} = \max_{1\le k \le n} a_{k}$.


بالنسبة للنهاية التالية يكفي ملاحظة : $(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{-p})^{\frac{1}{p}} = (\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{a_{k}})^{p})^{\frac{1}{p}}$ .

إذن : $ \lim_{p\rightarrow +\infty} (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{-p})^{\frac{1}{p}} = \max_{1\le k \le n} \frac{1}{a_{k}}$