الرياضيات بالعربية

درس الإشتقاق وتطبيقاته

يعتبر درس الإشتقاق من الدروس المحورية في التحليل الحقيقي .في كل ما سيأتي نعتبر $I$ مجالا مفتوحا من $\mathbb{R}$ .


تعريف الإشتقاق

الإشتقاق في نقطة

لتكن $f$ دالة معرفة على حيز تعريفها $D_f$, وليكن $I$ مجال مفتوح من $D_f$ بحيث $a \in I$.

نقول أن $f$ قابلة للإشتقاق في النقطة $a$ إذا وفقط إذا كانت النهاية التالية : $\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ موجودة .

ونكتب :

$\large f^{'}(a) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$


لاحظ أنه بوضع $h = x-a$ لدينا : $ f^{'}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h)-f(a)}{ h } $

مثال :

$f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & [0,+\infty[ \\x & \rightarrow & x^{2} \end{array}$


لنحدد النقط $x \in \mathbb{R}$ التي تقبل فيها الدالة $f$ الإشتقاق ونحسب المشتقة في النقطة $x$ :

ليكن $x \in \mathbb{R}$, لدينا :

$ \begin{array}{rcl}f^{'}(x) & = & \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\& = & \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} \\& = & \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} 2x + h \\& = & 2x\end{array}$


لاحظ أن النهاية موجودة $\forall x \in \mathbb{R}$ وبالتالي فإن الدالة $x \rightarrow x^2$ قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$ ولدينا : $\forall x \in \mathbb{R} \quad (x^2)^{'} = 2 x$

ملحوظة : اشتقاق دالة في نقطة $a$ عبارة عن نهاية. وبالتالي يمكننا تعريف الاشتقاق على يمين النقطة $a$ وعلى يسارها.

تذكير : النهاية على يمين النقطة $a$ هو عندما تؤول $x$ إلى $a$ مع $x > a$ : أي تقترب $x$ من $a$ من جهة اليمين, أما اليسار فالعكس وهو $x < a$.

النهاية على اليمين وعلى اليسار
رسم يوضح النهاية على اليمين وعلى اليسار


الاشتقاق على اليمين $f^{'}_{d}(a) = \lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

الاشتقاق على اليسار $f^{'}_{g}(a) = \lim_{x\rightarrow a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

وتكون $f$ قابلة للاشتقاق فى نقطة $a$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للاشتقاق فى يمين $a$ و فى يسار النقطة $a$ و $f^{'}_{d}(a) = f^{'}_{g}(a)$.

مماس دالة في نقطة

مثال لمماس دالة
رسم مبياني للدالة x² (اللون الأحمر) . ومماسها في النقطة x = 1 (اللون الأزرق ) . وكيف أن المنحييان يتقاربان جدا بجوار النقطة A .
لتكن $f$ دالة قابلة للإشتقاق في نقطة $a \in I$ . إذن توجد دالة $h$ معرفة بجوار مفتوح للنقطة $a$ (باستثناء $a$) بحيث :

$ \lim_{x \rightarrow a} h(x) = 0 $ و $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^{'}(a) + h(x)$

تذكير : جوار مفتوح لنقطة $a \in \mathbb{R}$ هو المجال $V(a) = ]a-h,a+h[$ بحيث $h > 0$ ويكون $h$ عدد صغير موجب غير منعدم.

بكل بساطة الدالة $h$ هي : $h(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^{'}(a) $ بحيث $x \in V(a) -\{a\}$

لدينا بجوار النقطة $a$ :

$f(x) = (h(x) + f^{'}(a)) (x-a) + f(a)$

معادلة المماس للدالة $f$ في النقطة $a$ هي $ y = f^{'}(a) (x-a) + f(a) $ .

لاحظ أنه بجوار $a$ لدينا $ \lim_{x \rightarrow a} h(x) = 0$ إذن : $f(x) \approx f^{'}(a) (x-a) + f(a)$ .

مثال : نعتبر الدالة $f(x) = x^2$, لنحدد معادلة المماس في النقطة $a = 1$ :

كما رأينا سابقا لدينا $\forall x \in \mathbb{R} \quad f^{'}(x) = 2 x$

وبالتالي فإن معادلة المماس في $a = 1$ هي $ y = 2 (x-1) + 1 = 2x - 1 $


متى تكون دالة f غير قابلة للاشتقاق في نقطة a ؟

لتكن $f$ دالة متصلة في نقطة $a \in I$

1) الاشتقاق على اليمين يخالف الاشتقاق على اليسار :

كما قلنا سابقا فإن دالة $f$ تكون قابلة للإشتقاق في نقطة $a$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للإشتقاق على يمين ويسار $a$ و $f^{'}_{d}(a) = f^{'}_{g}(a)$

نعتبر الدالة :

$f:\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & [0,+\infty[ \\x & \rightarrow & |x (x-2)| \end{array}$


رسم الدالة f
رسم الدالة f والمماسان في النقطة a=0.


لندرس اشتقاق الدالة $f$ في النقطة $a = 0$ :

$f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}x (2-x) & : \ 0 < x < 2 \\-x (2-x) & : \ x \leq 0\end{array} \right.$

الدالة $f$ متصلة في $a = 0$ بحيث $f(0) = 0$

الإشتقاق على اليمين :

$\begin{array}{rcl}f^{'}_{d}(0) & = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} \\& = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{x (2-x)}{x} \\& = & 2 \end{array}$


وبالتالي فإن معادلة المماس في النقطة $a = 0$ على اليمين $y = 2 x$

الإشتقاق على اليسار :

$\begin{array}{rcl}f^{'}_{d}(0) & = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} \\& = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{-x (2-x)}{x} \\& = & -2 \end{array}$


وبالتالي فإن معادلة المماس في النقطة $a = 0$ على اليسار $y = -2 x$

خلاصة : لدينا الإشتقاق على اليمين يخالف الإشتقاق على اليسار, إذن $f$ غير قابلة للإشتقاق في النقطة $a = 0$.

التأويل الهندسي لاختلاف الإشتقاق على يسار وعلى يمين نقطة $a$ هو اختلاف المماسين, ونقول أن النقطة $a$ مزواة (point anguleu) لأن شكلها يظهر بوضوح في الرسم (شكل حاد).

2) النهاية $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ غير موجودة أو غير منتهية :

نعتبر الدالة :

$f:\begin{array}{rcl}[\frac{1}{2}, +\infty[ & \rightarrow & [0,+\infty[ \\x & \rightarrow & \sqrt{x - \frac{1}{2}} \end{array}$


رسم الدالة f
رسم الدالة f والمماس في النقطة a=1/2.


لنحسب اشتقاق الدالة في يمين النقطة $a=\frac{1}{2}$

لدينا :

$\begin{array}{rcl}f^{'}_{d}\left(\dfrac{1}{2}\right) & = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^{+}} \dfrac{f(x) - f(\frac{1}{2})}{x-\frac{1}{2}} \\& = & \displaystyle\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^{+}} \dfrac{\sqrt{x - \frac{1}{2}}}{x - \frac{1}{2}} \\& = & +\infty \end{array}$


وبالتالي فإن الدالة $f$ غير قابلة للإشتقاق على يمين النقطة $a=\frac{1}{2}$.

التأويل الهندسي للانهائية الإشتقاق في نقطة $a$ يُترجم إلى أن الدالة $f$ تقبل مماس عمودي في النقطة $a$ معادلته $x=a$, ويكون موجها نحو الأعلى إذا كان $f^{'}(a) = +\infty$ وموجها نحو الأسفل إذا كان $f^{'}(a) = -\infty$

الإشتقاق على مجال

لتكن $f$ دالة معرفة على حيز تعريفها $D_f$, وليكن $I$ مجال بحيث $I \subset D_f$.

نقول أن $f$ قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $I$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للإشتقاق في كل نقطة $a$ من $I$ .ولدينا :

$\forall x \in I \, : \, f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$


ونقول أن $f$ قابلة للإشتقاق على المجال المغلق $I=[a,b]$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $]a, b[$ و قابلة للإشتقاق على يمين $a$ ويسار $b$.

أمثلة :

الدالة الحدودية $x \rightarrow a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ قابلة للإشتقاق على $\mathbb{R}$.

الدالتان $\sin$ و $\cos$ قابلتان للإشتقاق على $\mathbb{R}$

الدالة الجذرية (دالة حدودية مقسمومة على دالة حدودية) قابلة للإشتقاق على أي مجال ضمن مجموعة تعريفها.

الدالة $\tan$ قابلة للإشتقاق على كل مجال ضمن $\mathbb{R} - \{\frac{\pi}{2} +k \pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \}$

الدالة $x \rightarrow \sqrt{x}$ قابلة للإشتقاق على $]0, +\infty[$


ترميز الإشتقاق


نرمز للمشتقة الأولى لدالة $f$ على مجال $I$ كالتالي $f^{'}$. وللمشتقة الثانية $f^{''}$.

أما المشتقة من الدرجة $n \in \mathbb{N}^{*}$ كالتالي : $f^{(n)}$ مع الإصطلاح $f^{(0)} = f$.

ترميز آخر : هناك ترميز آخر يستعمل كثيرا في الفيزياء, يستعمل المعامل $d$ :

نعرف المعامل $d$ كالتالي : $df(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x)$ .

لاحظ أنه إذا كانت $f(x) = x$ فإن $df(x) = \lim_{h \rightarrow 0} x+h-x = \lim_{h \rightarrow 0} h $.

وبالتالي : $dx = \lim_{h \rightarrow 0} h$

إذن : $f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{df(x)}{dx}$.

المشتقة من الدرجة $n$ : $ f^{(n)} = \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} $ .


الاشتقاق والاتصال

لتكن $f$ دالة معرفة في نقطة $a \in I$ :

نقول أن $f$ متصلة في النقطة $a$ إذا وفقط إذا كان $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$.

تمرين : بين أن $f$ قابلة للإشتقاق في $a$ $\Leftarrow$ $f$ متصلة في $a$. بين أن العكس غير صحيح .


Weierstrass function
رسم لدالة ويرستراس على المجال [2, 2-]
متصلة على R وغير قابلة للإشتقاق في أي نقطة.
خلاصة : $f$ قابلة للإشتقاق على $I$ إذن $f$ متصلة على $I$ .وبينا أن العكس غير صحيح بإعطاء مثال مضاد.

حتى نهاية القرن 19 كان الإعتقاد السائد أن دالة متصلة تكون قابلة للإشتقاق إلا في نقط محدودة ومعروفة .حتى جاء العالم الألماني برنارد ريمان وأعطى أول مثال لدالة متصلة على $\mathbb{R}$, لكن قابلة للإشتقاق في نقط خاصة $x=\frac{p \pi}{q}$ :

$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n^{2} x)}{n^{2}}$


سنة 1872 أعطى العالم الألماني كارل ويرستراس مثال لدوال متصلة على $\mathbb{R}$, لكنها غير قابلة للإشتقاق إطلاقا في أية نقطة من $\mathbb{R}$ :

$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} a^{n} \cos(b^{n} \pi x)$


مع $a$ و $b$ عددان حقيقيان يحققان $ab \geq 1$ حتى تكون المتسلسلة (serie) متقاربة.


العمليات الجبرية على الإشتقاق

لتكن $f$ و $g$ دالتان قابلتان للإشتقاق على مجال $I$ . و $\alpha$ عدد حقيقي :

لدينا $f+g$ و $f \times g$ و $\alpha f$ دوال قابلة للإشتقاق على $I$, و $\forall x \in I$ :
  • $(f+g)^{'}(x) = f^{'}(x) + g^{'}(x)$
  • $(f \times g)^{'}(x) = f^{'}(x) \times g(x) + f(x) \times g^{'}(x)$
  • $(\alpha f)^{'}(x) = \alpha f^{'}(x)$

وإذا كانت $g$ لا تنعدم على $I$ لدينا : $\frac{1}{g}$ و $\frac{f}{g}$ قابلتان للاشتقاق على $I$ و $\forall x \in I$ :
  • $(g(x) \neq 0) \, : \quad \left( \frac{1}{g} \right)^{'}(x) = - \frac{g^{'}(x)}{g^2(x)}$
  • $( g(x) \neq 0) \, : \quad \left(\frac{f}{g} \right)^{'}(x) = \frac{f^{'}(x) \times g(x) - f(x) \times g^{'}(x)}{g^2(x)}$

جميع هذه الخصائص يمكننا البرهنة عليها باستعمال تعريف الإشتقاق .


اشتقاق مركب دالتين

نعرف الدالتين $f$ و $g$ بحيث $f(I) \subset J$ :

$f:\begin{array}{rcl} I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & f(x) \end{array} \quad \quad g:\begin{array}{rcl} J & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & g(x) \end{array}$


مركب الدالتين $g \circ f$ معرف كالآتي :

$g \circ f:\begin{array}{rcl} I & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \rightarrow & g(f(x)) \end{array}$


إذا كانت $f$ و $g$ قابلتان للإشتقاق على $I$ و $J$ على التوالي, فإن $g \circ f$ قابلة للإشتقاق على $I$

$\forall x \in I \, : \, (g \circ f )^{'} (x) = f^{'}(x) \times g^{'}( f (x))$

تمرين : لتكن $f$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $I$ بين الآتي :
  • $(\forall n \in \mathbb{Z} ) \, (\forall x \in I) \, : \, (f^{n})^{'}(x) = n f^{'}(x) f^{n-1}(x) $
    لاحظ أن الشرط $\forall x \in I \quad f(x) \neq 0$ ضروري إذا كان $n$ عدد صحيح نسبي سالب .


  • $(\forall \alpha \in \mathbb{R} ) \, (\forall x \in I) \,\, \text{et} \,\, ( f(x) \geq 0) \, : \, (f^{\alpha})^{'}(x) = \alpha f^{'}(x) f^{\alpha-1}(x) $

    لاحظ أن الشرط $\forall x \in I \quad f(x) \neq 0$ ضروري إذا كان $\alpha - 1 < 0 $ .




اشتقاق الدالة العكسية

تذكير: لتكن $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا (strictement monotone) على مجال $I$, إذن $f$ تقابل من $I$ نحو $J=f(I)$.

البرهان:
لتكن $f$ دالة متصلة وقابلة للإشتقاق ورتيبة قطعا على مجال $I$ :

لدينا إذن $f$ تقابل من $I$ نحو $J=f(I)$ :

إذا كانت $f$ لا تنعدم في $I$ لدينا فإن $f^{-1}$ قابلة للإشتقاق على $J$ و :

$\forall x \in J \quad (f^{-1})^{'}(x) = \frac{1}{ f^{'} \circ f^{-1}(x) }$

البرهان:


أمثلة لاشتقاقات دوال مرجعية


لتكن $a \in ]0, +\infty[$ و $\alpha \in \mathbb{R}^{*}$
الدالةمجال الإشتقاقاشتقاق الدالة
$\ln(x) $$ \mathbb{R}_{+}^{*} $$ \frac{1}{x}$
$ a^x $$ \mathbb{R} $$ \ln(a) \, a^x $
$ e^x $$ \mathbb{R} $$ e^x $
$ \arctan(x) $$ \mathbb{R} $$ \frac{1}{1+x^2} $
$ \sin(x) $$ \mathbb{R} $$ \cos(x) $
$ \cos(x)$$ \mathbb{R} $$ - \sin(x) $
$ x^{\alpha} $$ \mathbb{R}^{*}_{+} $$ \alpha \, x^{\alpha - 1}$
$ \tan(x) $$ \mathbb{R} - \{ \frac{ \pi}{2} + k \, \pi / \, k \in \mathbb{Z} \} $$ 1+\tan^{2}(x)$
$ \arcsin(x) $$ ]-1, 1[ $$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$ \arccos(x) $$ ]-1, 1[ $$ - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$


مبرهنة رول

لتكن $f$ دالة عددية بحيث :
  • $f$ متصلة على $[a, b] $
  • $f$ قابلة للإشتقاق على $]a, b[ $
  • $f(a) = f(b)$

إذن حسب مبرهنة روول لدينا : $\exists c \in ]a, b[ \, : \, f^{'}(c) = 0$


مبرهنة التزايدات المنتهية

لتكن $f$ دالة عددية بحيث :
  • $f$ متصلة على $[a, b] $
  • $f$ قابلة للإشتقاق على $]a, b[ $

إذن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية لدينا :
$\exists c \in ]a, b[ \, : \, f(b) - f(a) = f^{'}(c) (b-a)$


صيغة ليبنيز

صيغة ليبنيز Formule de Leibniz تعطينا طريقة لحساب الإشتقاق من الدرجة$n$ لجداء دالتين . لدينا :

لتكن $f$ و $g$ دالتان قابلتان للإشتقاق $p$ مرة على $I$ .

$ \forall n \in \mathbb{N} , \, n \leq p \, : \, (f \times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)} \times g^{(n-k)}$

البرهــــــان : صيغة ليبنيز

ملحوظة: ينصح بهذا الدرس لطلبة الأولى باك علوم رياضية وكذا ثانية باك علوم رياضية وأيضا الشعب العلمية الأخرى.