درس الإشتقاق وتطبيقاته

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة على حيز تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$, وليكن $\displaystyle{\displaylines{I}}$ مجال مفتوح من $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$.

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذا وفقط إذا كانت النهاية التالية : $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$ موجودة .

ونكتب :



لاحظ أنه بوضع $\displaystyle{\displaylines{h = x-a}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ f^{'}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h)-f(a)}{ h } }}$

مثال :



لنحدد النقط $\displaystyle{\displaylines{x \in \mathbb{R}}}$ التي تقبل فيها الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ الإشتقاق ونحسب المشتقة في النقطة $\displaystyle{\displaylines{x}}$ :

ليكن $\displaystyle{\displaylines{x \in \mathbb{R}}}$, لدينا :



لاحظ أن النهاية موجودة $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R}}}$ وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow x^2}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ ولدينا : $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \quad (x^2)^{'} = 2 x}}$

ملحوظة : اشتقاق دالة في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ عبارة عن نهاية. وبالتالي يمكننا تعريف الاشتقاق على يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ وعلى يسارها.

تذكير : النهاية على يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هو عندما تؤول $\displaystyle{\displaylines{x}}$ إلى $\displaystyle{\displaylines{a}}$ مع $\displaystyle{\displaylines{x > a}}$ : أي تقترب $\displaystyle{\displaylines{x}}$ من $\displaystyle{\displaylines{a}}$ من جهة اليمين, أما اليسار فالعكس وهو $\displaystyle{\displaylines{x < a}}$.



الاشتقاق على اليمين $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(a) = \lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$

الاشتقاق على اليسار $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{g}(a) = \lim_{x\rightarrow a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$

وتكون $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للاشتقاق فى نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للاشتقاق فى يمين $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و فى يسار النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(a) = f^{'}_{g}(a)}}$.

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$ . إذن توجد دالة $\displaystyle{\displaylines{h}}$ معرفة بجوار مفتوح للنقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ (باستثناء $\displaystyle{\displaylines{a}}$) بحيث :

$\displaystyle{\displaylines{ \lim_{x \rightarrow a} h(x) = 0 }}$ و $\displaystyle{\displaylines{\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^{'}(a) + h(x)}}$

تذكير : جوار مفتوح لنقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in \mathbb{R}}}$ هو المجال $\displaystyle{\displaylines{V(a) = ]a-h,a+h[}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{h > 0}}$ ويكون $\displaystyle{\displaylines{h}}$ عدد صغير موجب غير منعدم.

بكل بساطة الدالة $\displaystyle{\displaylines{h}}$ هي $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in V(a) \smallsetminus \{a\} \ : \ h(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^{'}(a) }}$

لدينا بجوار النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ :

$\displaystyle{\displaylines{f(x) = (h(x) + f^{'}(a)) (x-a) + f(a)}}$

معادلة المماس للدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هي $\displaystyle{\displaylines{ y = f^{'}(a) (x-a) + f(a) }}$ .

لاحظ أنه بجوار $\displaystyle{\displaylines{a}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{ \lim_{x \rightarrow a} h(x) = 0}}$ إذن : $\displaystyle{\displaylines{f(x) \approx f^{'}(a) (x-a) + f(a)}}$ .

مثال : نعتبر الدالة $\displaystyle{\displaylines{f(x) = x^2}}$, لنحدد معادلة المماس في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 1}}$ :

كما رأينا سابقا لدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \mathbb{R} \quad f^{'}(x) = 2 x}}$

وبالتالي فإن معادلة المماس في $\displaystyle{\displaylines{a = 1}}$ هي $\displaystyle{\displaylines{ y = 2 (x-1) + 1 = 2x - 1 }}$

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a \in I}}$

1) الاشتقاق على اليمين يخالف الاشتقاق على اليسار :

كما قلنا سابقا فإن دالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تكون قابلة للإشتقاق في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للإشتقاق على يمين ويسار $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(a) = f^{'}_{g}(a)}}$

نعتبر الدالة :





لندرس اشتقاق الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$, لدينا :



الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة في $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f(0) = 0}}$

الإشتقاق على يمين $\displaystyle{\displaylines{a=0}}$ :



وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على يمين $\displaystyle{\displaylines{0}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{d}(0)=2}}$ إذن معادلة المماس في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$ على اليمين : $\displaystyle{\displaylines{y = 2 x}}$

الإشتقاق على يسار $\displaystyle{\displaylines{a=0}}$ :



وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على يسار $\displaystyle{\displaylines{0}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f^{'}_{g}(0)=-2}}$ إذن معادلة المماس في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$ على اليسار : $\displaystyle{\displaylines{y = - 2 x}}$

خلاصة : لدينا الإشتقاق على اليمين يخالف الإشتقاق على اليسار, إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ غير قابلة للإشتقاق في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a = 0}}$.

التأويل الهندسي لاختلاف الإشتقاق على يسار وعلى يمين نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ هو اختلاف المماسين, ونقول أن النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ مزواة (point anguleu) لأن شكلها يظهر بوضوح في الرسم (شكل حاد).

2) النهاية $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$ غير موجودة أو غير منتهية :

نعتبر الدالة :





لنحسب اشتقاق الدالة في يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a=\frac{1}{2}}}$

لدينا :



وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ غير قابلة للإشتقاق على يمين النقطة $\displaystyle{\displaylines{a=\frac{1}{2}}}$.

التأويل الهندسي للانهائية الإشتقاق في نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ يُترجم إلى أن الدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقبل مماس عمودي في النقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ معادلته $\displaystyle{\displaylines{x=a}}$, ويكون موجها نحو الأعلى إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(a) = +\infty}}$ وموجها نحو الأسفل إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(a) = -\infty}}$

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة معرفة على حيز تعريفها $\displaystyle{\displaylines{D_f}}$, وليكن $\displaystyle{\displaylines{I}}$ مجال بحيث $\displaystyle{\displaylines{I \subset D_f}}$.

نقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذا وفقط إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في كل نقطة $\displaystyle{\displaylines{a}}$ من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .ولدينا :



ونقول أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على المجال المغلق $\displaystyle{\displaylines{I=[a,b]}}$ إذا وفقط إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على المجال المفتوح $\displaystyle{\displaylines{]a, b[}}$ و قابلة للإشتقاق على يمين $\displaystyle{\displaylines{a}}$ ويسار $\displaystyle{\displaylines{b}}$.

أمثلة :

الدالة الحدودية $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.

الدالتان $\displaystyle{\displaylines{\sin}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\cos}}$ قابلتان للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$

الدالة الجذرية (دالة حدودية مقسمومة على دالة حدودية) قابلة للإشتقاق على أي مجال ضمن مجموعة تعريفها.

الدالة $\displaystyle{\displaylines{\tan}}$ قابلة للإشتقاق على كل مجال ضمن $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R} \smallsetminus \left\{\frac{\pi}{2} +k \pi \ \middle| \ k \in \mathbb{Z} \right\}}}$

الدالة $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow \sqrt{x}}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{]0, +\infty[}}$

نرمز للمشتقة الأولى لدالة $\displaystyle{\displaylines{f}}$ على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ كالتالي $\displaystyle{\displaylines{f^{'}}}$. وللمشتقة الثانية $\displaystyle{\displaylines{f^{''}}}$.

أما المشتقة من الدرجة $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{N}^{*}}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{f^{(n)}}}$ مع الإصطلاح $\displaystyle{\displaylines{f^{(0)} = f}}$.

ترميز آخر : هناك ترميز آخر يستعمل كثيرا في الفيزياء, يستعمل المعامل $\displaystyle{\displaylines{d}}$ :

نعرف المعامل $\displaystyle{\displaylines{d}}$ كالتالي : $\displaystyle{\displaylines{df(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x)}}$ .

لاحظ أنه إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f(x) = x}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{df(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (x+h-x) = \lim_{h \rightarrow 0} h }}$.

وبالتالي : $\displaystyle{\displaylines{dx = \lim_{h \rightarrow 0} h}}$

إذن : $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{df(x)}{dx}}}$.

المشتقة من الدرجة $\displaystyle{\displaylines{n}}$ : $\displaystyle{\displaylines{ f^{(n)}(x) = \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} }}$ .

خلاصة : $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ .وبينا أن العكس غير صحيح بإعطاء مثال مضاد.

حتى نهاية القرن 19 كان الإعتقاد السائد أن دالة متصلة تكون قابلة للإشتقاق إلا في نقط محدودة ومعروفة .حتى جاء العالم الألماني برنارد ريمان وأعطى أول مثال لدالة متصلة على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$, لكن قابلة للإشتقاق في نقط خاصة $\displaystyle{\displaylines{x=\frac{p \pi}{q}}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{p}}$ و $\displaystyle{\displaylines{q}}$ أعداد صحيحة فردية :



سنة 1872 أعطى العالم الألماني كارل ويرستراس مثال لدوال متصلة على $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$, لكنها غير قابلة للإشتقاق إطلاقا في أية نقطة من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ :



مع $\displaystyle{\displaylines{a}}$ و $\displaystyle{\displaylines{b}}$ عددان حقيقيان يحققان $\displaystyle{\displaylines{ab \geq 1}}$ حتى تكون المتسلسلة (serie) متقاربة.

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ دالتان قابلتان للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ . و $\displaystyle{\displaylines{\alpha}}$ عدد حقيقي :

لدينا $\displaystyle{\displaylines{f+g}}$ و $\displaystyle{\displaylines{f \times g}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\alpha f}}$ دوال قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$, و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I}}$ :

• $\displaystyle{\displaylines{(f+g)^{'}(x) = f^{'}(x) + g^{'}(x)}}$
• $\displaystyle{\displaylines{(f \times g)^{'}(x) = f^{'}(x) \times g(x) + f(x) \times g^{'}(x)}}$
• $\displaystyle{\displaylines{(\alpha f)^{'}(x) = \alpha f^{'}(x)}}$

وإذا كانت $\displaystyle{\displaylines{g}}$ لا تنعدم على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ لدينا : $\displaystyle{\displaylines{\frac{1}{g}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\frac{f}{g}}}$ قابلتان للاشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I}}$ :

• $\displaystyle{\displaylines{(g(x) \neq 0) \, : \quad \left( \frac{1}{g} \right)^{'}(x) = - \frac{g^{'}(x)}{g^2(x)}}}$
• $\displaystyle{\displaylines{( g(x) \neq 0) \, : \quad \left(\frac{f}{g} \right)^{'}(x) = \frac{f^{'}(x) \times g(x) - f(x) \times g^{'}(x)}{g^2(x)}}}$

جميع هذه الخصائص يمكننا البرهنة عليها باستعمال تعريف الإشتقاق .

نعرف الدالتين $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{f(I) \subset J}}$ :



مركب الدالتين $\displaystyle{\displaylines{g \circ f}}$ معرف كالآتي :



إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ قابلتان للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{J}}$ على التوالي, فإن $\displaystyle{\displaylines{g \circ f}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$

$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, (g \circ f )^{'} (x) = f^{'}(x) \times g^{'}( f (x))}}$

تمرين : لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ بين الآتي :

• $\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{Z} ) \, (\forall x \in I) \, : \, (f^{n})^{'}(x) = n f^{'}(x) f^{n-1}(x) }}$
  لاحظ أن الشرط $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \neq 0}}$ ضروري إذا كان $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد صحيح نسبي سالب .



• $\displaystyle{\displaylines{(\forall \alpha \in \mathbb{R} ) \, (\forall x \in I) \,\, \text{et} \,\, ( f(x) \geq 0) \, : \, (f^{\alpha})^{'}(x) = \alpha f^{'}(x) f^{\alpha-1}(x) }}$
  
  لاحظ أن الشرط $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \neq 0}}$ ضروري إذا كان $\displaystyle{\displaylines{\alpha - 1 < 0 }}$ .



• 
  ليكن $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{Z}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{ x \in I}}$
  
  نعتبر الدالة $\displaystyle{\displaylines{g(x) = x^n}}$ المعرفة على $\displaystyle{\displaylines{J}}$ .
  
  $\displaystyle{\displaylines{J = \left\{ \begin{matrix}\mathbb{R} , \, n \in \mathbb{N} \\ \\\mathbb{R}^{*} , \, n \in \mathbb{Z}_{-}\end{matrix}\right. }}$
  
  لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ معرفة على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \quad f(x) \neq 0}}$ إذا كان $\displaystyle{\displaylines{n \in \mathbb{Z}_{-}}}$ :
  
  لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ و $\displaystyle{\displaylines{g}}$ قابلتان للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{I}}$ و $\displaystyle{\displaylines{J}}$ على التوالي و $\displaystyle{\displaylines{f(I) \subset J}}$ :
  
  لدينا : $\displaystyle{\displaylines{ \forall x \in J \, : \, g^{'}(x) = n \, x^{n-1} }}$ . إذن :
  
  $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in I \, : \, (g \circ f)^{'}(x) = (f^n)^{'} (x) = f^{'}(x) \times g^{'} \circ f (x) = f^{'}(x) \, n f^{n-1}(x)}}$
  
  وبالتالي فإن :
  
  $\displaystyle{\displaylines{(\forall n \in \mathbb{Z} ) \, (\forall x \in I) \, : \, (f^{n})^{'} (x) = n f^{'}(x) f^{n-1}(x)}}$
  

  ---

  
  نفس الطريقة مع السؤال الثاني مع مراعاة أن $\displaystyle{\displaylines{f \geq 0}}$ .
  

تذكير: لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة ورتيبة قطعا (strictement monotone) على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$.

البرهان:

بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f(I)}}$ مجال من $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$.

وبالتالي فإن المعادلة $\displaystyle{\displaylines{y=f(x)}}$ بحيث $\displaystyle{\displaylines{y \in f(I)}}$ تقبل حلولا في $\displaystyle{\displaylines{I}}$, كما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ رتيبة قطعا على المجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ يجعل هذا الحل وحيدا.

خلاصة: $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$.

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة وقابلة للإشتقاق ورتيبة قطعا على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$ :

لدينا إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$ :

إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f^{'}}}$ لا تنعدم في $\displaystyle{\displaylines{I}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{J}}$ و :

$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in J \quad (f^{-1})^{'}(x) = \frac{1}{ f^{'} \circ f^{-1}(x) }}}$

البرهان:

لدينا $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة متصلة وقابلة للإشتقاق ورتيبة قطعا على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J=f(I)}}$

إذا كان $\displaystyle{\displaylines{x_0 \in I}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f^{'}(x_0)}}$

بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{I}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{J}}$ لدينا $\displaystyle{\displaylines{f(x_0) = y_0 \iff x_0=f^{-1}(y_0)}}$

نقوم بتغيير المتغير داخل النهاية $\displaystyle{\displaylines{y=f(x)}}$

بما أن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ متصلة في $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{x \rightarrow x_0 \iff y=f(x) \rightarrow f(x_0)=y_0}}$

وبالتالي $\displaystyle{\displaylines{\lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{y \rightarrow y_0} \dfrac{y - y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}}}$

إذن $\displaystyle{\displaylines{(f^{-1})^{'}(f(x_0)) = \frac{1}{f^{'}(x_0)}}}$

وبالتالي فإنه إذا كانت $\displaystyle{\displaylines{f}}$ قابلة للإشتقاق في $\displaystyle{\displaylines{x_0}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ قابلة للإشتقاق في $\displaystyle{\displaylines{f(x_0)}}$ إذا وفقط إذا كان $\displaystyle{\displaylines{f^{'}(x_0) \neq 0}}$.

وبما أن $\displaystyle{\displaylines{f^{'}}}$ لا تنعدم في $\displaystyle{\displaylines{I}}$ فإن $\displaystyle{\displaylines{f^{-1}}}$ قابلة للإشتقاق على $\displaystyle{\displaylines{J}}$ و :

$\displaystyle{\displaylines{\forall x \in J \quad (f^{-1})^{'}(x) = \frac{1}{ f^{'} \circ f^{-1}(x) }}}$

مثال: دالة $\displaystyle{\displaylines{x \to \tan(x)}}$ متصلة وقابلة للإشتقاق وتزايدية قطعا على المجال $\displaystyle{\displaylines{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}}$.
وبالتالي فإن الدالة $\displaystyle{\displaylines{\tan}}$ تقابل من $\displaystyle{\displaylines{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}}$ نحو $\displaystyle{\displaylines{\tan\left(\, \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\,\right)=\mathbb{R}}}$.

ولدينا $\displaystyle{\displaylines{\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \ : \ \tan^{'}(x) = 1 + \tan^{2}(x) \neq 0}}$

لتكن دالة $\displaystyle{\displaylines{\arctan}}$ هي الدالة العكسية للدالة $\displaystyle{\displaylines{\tan}}$ على المجال $\displaystyle{\displaylines{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}}$ , حسب ما سبق لدينا :

لتكن $\displaystyle{\displaylines{a \in ]0, +\infty[}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\alpha \in \mathbb{R}^{*}}}$

الدالة	مجال الإشتقاق	اشتقاق الدالة
$\displaystyle{\displaylines{\ln(x) }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R}_{+}^{*} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \frac{1}{x}}}$
$\displaystyle{\displaylines{ a^x }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \ln(a) \, a^x }}$
$\displaystyle{\displaylines{ e^x }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ e^x }}$
$\displaystyle{\displaylines{ \arctan(x) }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \frac{1}{1+x^2} }}$
$\displaystyle{\displaylines{ \sin(x) }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \cos(x) }}$
$\displaystyle{\displaylines{ \cos(x)}}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ - \sin(x) }}$
$\displaystyle{\displaylines{ x^{\alpha} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R}^{*}_{+} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \alpha \, x^{\alpha - 1}}}$
$\displaystyle{\displaylines{ \tan(x) }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \mathbb{R} \smallsetminus \left\{ \frac{ \pi}{2} + k \, \pi \ \middle| \ k \in \mathbb{Z} \right\} }}$	$\displaystyle{\displaylines{ 1+\tan^{2}(x)}}$
$\displaystyle{\displaylines{ \arcsin(x) }}$	$\displaystyle{\displaylines{ ]-1, 1[ }}$	$\displaystyle{\displaylines{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}$
$\displaystyle{\displaylines{ \arccos(x) }}$	$\displaystyle{\displaylines{ ]-1, 1[ }}$	$\displaystyle{\displaylines{ - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}$

لتكن $\displaystyle{\displaylines{f}}$ دالة قابلة للإشتقاق على مجال $\displaystyle{\displaylines{I}}$, و $\displaystyle{\displaylines{\alpha \in \mathbb{R}}}$.

الدالة	مجال الإشتقاق	اشتقاق الدالة
$\displaystyle{\displaylines{\ln(f(x)) }}$	$\displaystyle{\displaylines{\{x \in I \ | \ f(x) > 0\}}}$	$\displaystyle{\displaylines{ \frac{f^{'}(x)}{f(x)}}}$
$\displaystyle{\displaylines{ \sqrt{f(x)} }}$	$\displaystyle{\displaylines{\{x \in I \ | \ f(x) > 0\}}}$	$\displaystyle{\displaylines{ \frac{1}{2} \, \frac{f^{'}(x)}{\sqrt{f(x)}} }}$
$\displaystyle{\displaylines{f^{\alpha}(x)}}$	$\displaystyle{\displaylines{\{x \in I \ | \ f(x) > 0\}}}$	$\displaystyle{\displaylines{\alpha f^{'}(x) f^{\alpha-1}(x)}}$
$\displaystyle{\displaylines{ e^{f(x)} }}$	$\displaystyle{\displaylines{I}}$	$\displaystyle{\displaylines{f^{'}(x) e^{f(x)}}}$
$\displaystyle{\displaylines{\arctan(f(x))}}$	$\displaystyle{\displaylines{I}}$	$\displaystyle{\displaylines{\frac{f^{'}(x)}{1+f(x)^2}}}$