نعرف على مجموعة الأعداد الحقيقية $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ قانون تشكيل داخلي $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ بالعلاقة:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x,y\in\mathbb{R}:x\star y=xy+(x^2-1)(y^2-1)}}$1) تحقق أن $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تبديلي.
2) أحسب $\displaystyle{\displaylines{x\star 1}}$ من أجل كل $\displaystyle{\displaylines{x\in\mathbb{R}}}$ . ماذا يمثل العنصر $\displaystyle{\displaylines{1}}$ بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ ؟
3) حل في $\displaystyle{\displaylines{\mathbb{R}}}$ المعادلة $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{3}\star x=1}}$ . ماذا تمثل الحلول؟
4) هل القانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تجميعي؟ برر إجابتك.
راجع
قوانين التشكيل الداخلية.
1)
$\displaystyle{\displaylines{\begin{align*}\forall x,y\in\mathbb{R}:x\star y & =xy+(x^2-1)(y^2-1) \\ & = yx+(y^2-1)(x^2-1) \\ & = y\star x \end{align*}}}$ومنه $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تبديلي.
2)
$\displaystyle{\displaylines{\forall x\in\mathbb{R}:x \star 1 = x.1+(x^2-1)(1^2-1) = x}}$ومنه $\displaystyle{\displaylines{1}}$ عنصر محايد من اليمين بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ ، وبما أن القانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تبديلي سيكون لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{\forall x\in\mathbb{R}:1\star x = x\star 1 = x}}$ومنه $\displaystyle{\displaylines{1}}$ عنصر محايد من اليسار بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ .
النتيجة: $\displaystyle{\displaylines{1}}$ هو العنصر المحايد بالنسبة للقانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ .
3)
$\displaystyle{\displaylines{ \begin{align*} \sqrt{3}\star x=1 & \iff \sqrt{3}x+(\sqrt{3}^2-1)(x^2-1) = 1\\ & \iff 2x^2+\sqrt{3}x-3 =0 \\ & \iff x=-\sqrt{3} \, \text{ ou } \, x=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} }}$المعادلة السابقة من الشكل $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{3}\star x=e}}$ ومنه العنصرين $\displaystyle{\displaylines{-\sqrt{3}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}}$ هما مقابلان لـ $\displaystyle{\displaylines{ \sqrt{3}}}$ من اليمين، وبما أن القانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ تبديلي سيكون لدينا:
$\displaystyle{\displaylines{(-\sqrt{3})\star \sqrt{3} =1 \, \text{ et } \, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\star \sqrt{3} =1}}$ومنه العنصرين $\displaystyle{\displaylines{-\sqrt{3}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}}$ هما مقابلان من اليسار لـ $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{3}}}$ .
النتيجة: العنصرين $\displaystyle{\displaylines{-\sqrt{3}}}$ و $\displaystyle{\displaylines{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}}$ هما مقابلان لـ $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{3}}}$ .
4) القانون $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ ليس تجميعي لأن العنصر $\displaystyle{\displaylines{\sqrt{3}}}$ له أكثر من مقابل بالنسبة لـ $\displaystyle{\displaylines{\star}}$ .
(نستعمل المبرهنة: إذا كان القانون تجميعي فإن العنصر الحيادي إن وجد فهو وحيد).