الرياضيات بالعربية

اختبار درس قوانين التشكيل الداخلية

site lagrida الرياضيات بالعربية الجبر العام Algèbre Génerale اختبار درس قوانين التشكيل الداخلية
نعرف على مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ قانون تشكيل داخلي $\star$ بالعلاقة:

$\forall x,y\in\mathbb{R}:x\star y=xy+(x^2-1)(y^2-1)$

1) تحقق أن $\star$ تبديلي.

2) أحسب $x\star 1$ من أجل كل $x\in\mathbb{R}$ . ماذا يمثل العنصر $1$ بالنسبة للقانون $\star$ ؟

3) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $\sqrt{3}\star x=1$ . ماذا تمثل الحلول؟

4) هل القانون $\star$ تجميعي؟ برر إجابتك.

1)
$\begin{align*}\forall x,y\in\mathbb{R}:x\star y & =xy+(x^2-1)(y^2-1) \\ & = yx+(y^2-1)(x^2-1) \\ & = y\star x \end{align*}$

ومنه $\star$ تبديلي.



2)
$\forall x\in\mathbb{R}:x\star 1 & =x.1+(x^2-1)(1^2-1) = x$

ومنه $1$ حيادي من اليمين بالنسبة للقانون $\star$ ، وبما أن القانون $\star$ تبديلي سيكون لدينا:

$\forall x\in\mathbb{R}:1\star x & = x\star 1 = x$

ومنه $1$ حيادي من اليسار بالنسبة للقانون $\star$ .

النتيجة: $1$ هو العنصر الحيادي بالنسبة للقانون $\star$ .



3)
$ \begin{align*} \sqrt{3}\star x=1 & \iff \sqrt{3}x+(\sqrt{3}^2-1)(x^2-1) = 1\\ & \iff 2x^2+\sqrt{3}x-3 =0 \\ & \iff x=-\sqrt{3} \, \text{ ou } \, x=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} $

المعادلة السابقة من الشكل $\sqrt{3}\star x=e$ ومنه العنصرين $-\sqrt{3}$ و $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ هما نظيرين لـ $ \sqrt{3}$ من اليمين، وبما أن القانون $\star$ تبديلي سيكون لدينا:

$(-\sqrt{3})\star \sqrt{3} =1 \, \text{ et } \, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\star \sqrt{3} =1$

ومنه العنصرين $-\sqrt{3}$ و $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ هما نظيرين من اليسار لـ $\sqrt{3}$ .

النتيجة: العنصرين $-\sqrt{3}$ و $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ هما نظيرين لـ $\sqrt{3}$ .



4) القانون $\star$ ليس تجميعي لأن العنصر $\sqrt{3}$ له أكثر من نظير بالنسبة لـ $\star$ .

(نستعمل العكس النقيض للمبرهنة: إذا كان القانون تجميعي فإن العنصر الحيادي إن وجد فهو وحيد).